Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23073 / 28127
↖ ↑ ↗
← N 24.691943°
W 53.256225°		 ← 554.94 m → N 24.691943°
W 53.250732°		 →
↑
554.98 m
↓
↑
554.98 m
↓
N 24.686952°
W 53.256225°		 ← 554.96 m →
307 986 m²		 N 24.686952°
W 53.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.352073669433594 y=0.429191589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.352073669433594 × 216)
    floor (0.352073669433594 × 65536)
    floor (23073.5)     		tx = 23073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429191589355469 × 216)
    floor (0.429191589355469 × 65536)
    floor (28127.5)     		ty = 28127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23073 / 28127 ti = "16/23073/28127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23073/28127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23073 ÷ 216
    23073 ÷ 65536     		x = 0.352066040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28127 ÷ 216
    28127 ÷ 65536     		y = 0.429183959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.352066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.295867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.92949648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429183959960938 × 2 - 1) × π
    0.141632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.444950302273361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.92949648} λ = -0.92949648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444950302273361))-π/2
    2×atan(1.56041264494456)-π/2
    2×1.00087601908162-π/2
    2.00175203816324-1.57079632675     		φ = 0.43095571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.92949648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.256225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43095571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.691943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23073 KachelY 28127 -0.92949648 0.43095571 -53.256225 24.691943
    Oben rechts KachelX + 1 23074 KachelY 28127 -0.92940061 0.43095571 -53.250732 24.691943
    Unten links KachelX 23073 KachelY + 1 28128 -0.92949648 0.43086860 -53.256225 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 23074 KachelY + 1 28128 -0.92940061 0.43086860 -53.250732 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43095571-0.43086860) × R
    8.71100000000014e-05 × 6371000     		dl = 554.977810000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43095571-0.43086860) × R
    8.71100000000014e-05 × 6371000     		dr = 554.977810000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.92949648--0.92940061) × cos(0.43095571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90856692702468 × 6371000     		do = 554.941567253145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.92949648--0.92940061) × cos(0.43086860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 554.963791270001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43095571)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90856692702468-0.90860331284959)×R²
    abs(-0.92940061--0.92949648)×3.63858249099458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63858249099458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63858249099458e-05×40589641000000     		ar = 307986.422784996m²