Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2306 / 4352
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
W 78.662110°		 ← 4 793.85 m → S 11.178402°
W 78.618164°		 →
↑
4 793.41 m
↓
↑
4 793.41 m
↓
S 11.221510°
W 78.662110°		 ← 4 793.14 m →
22 977 196 m²		 S 11.221510°
W 78.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28155517578125 y=0.53131103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28155517578125 × 213)
    floor (0.28155517578125 × 8192)
    floor (2306.5)     		tx = 2306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53131103515625 × 213)
    floor (0.53131103515625 × 8192)
    floor (4352.5)     		ty = 4352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2306 / 4352 ti = "13/2306/4352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2306/4352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2306 ÷ 213
    2306 ÷ 8192     		x = 0.281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4352 ÷ 213
    4352 ÷ 8192     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.43701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37291281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37291281} λ = -1.37291281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37291281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.662110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2306 KachelY 4352 -1.37291281 -0.19509992 -78.662110 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 2307 KachelY 4352 -1.37214581 -0.19509992 -78.618164 -11.178402
    Unten links KachelX 2306 KachelY + 1 4353 -1.37291281 -0.19585230 -78.662110 -11.221510
    Unten rechts KachelX + 1 2307 KachelY + 1 4353 -1.37214581 -0.19585230 -78.618164 -11.221510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.19585230) × R
    0.000752379999999997 × 6371000     		dl = 4793.41297999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.19585230) × R
    0.000752379999999997 × 6371000     		dr = 4793.41297999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37291281--1.37214581) × cos(-0.19509992) × R
    0.000767000000000184 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 4793.85072366741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37291281--1.37214581) × cos(-0.19585230) × R
    0.000767000000000184 × 0.980882166027831 × 6371000     		du = 4793.13661457961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.19585230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.980882166027831)×R²
    abs(-1.37214581--1.37291281)×0.000146137472212038×R²
    0.000767000000000184×0.000146137472212038×6371000²
    0.000767000000000184×0.000146137472212038×40589641000000     		ar = 22977195.8570276m²