Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2306 / 1915
↖ ↑ ↗
← N 11.609193°
E 22.675781°		 ← 9 573.06 m → N 11.609193°
E 22.763672°		 →
↑
9 574.53 m
↓
↑
9 574.53 m
↓
N 11.523088°
E 22.675781°		 ← 9 576.01 m →
91 671 667 m²		 N 11.523088°
E 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5631103515625 y=0.4676513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5631103515625 × 212)
    floor (0.5631103515625 × 4096)
    floor (2306.5)     		tx = 2306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4676513671875 × 212)
    floor (0.4676513671875 × 4096)
    floor (1915.5)     		ty = 1915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2306 / 1915 ti = "12/2306/1915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2306/1915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2306 ÷ 212
    2306 ÷ 4096     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1915 ÷ 212
    1915 ÷ 4096     		y = 0.467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467529296875 × 2 - 1) × π
    0.06494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.204019444782959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.204019444782959))-π/2
    2×atan(1.22632199878948)-π/2
    2×0.88670748762927-π/2
    1.77341497525854-1.57079632675     		φ = 0.20261865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20261865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.609193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2306 KachelY 1915 0.39576704 0.20261865 22.675781 11.609193
    Oben rechts KachelX + 1 2307 KachelY 1915 0.39730102 0.20261865 22.763672 11.609193
    Unten links KachelX 2306 KachelY + 1 1916 0.39576704 0.20111582 22.675781 11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 2307 KachelY + 1 1916 0.39730102 0.20111582 22.763672 11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20261865-0.20111582) × R
    0.00150283000000001 × 6371000     		dl = 9574.52993000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20261865-0.20111582) × R
    0.00150283000000001 × 6371000     		dr = 9574.52993000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(0.20261865) × R
    0.00153397999999999 × 0.979542972675751 × 6371000     		do = 9573.06032649337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(0.20111582) × R
    0.00153397999999999 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 9576.00508255302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20261865)-sin(0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979542972675751-0.979844288556578)×R²
    abs(0.39730102-0.39576704)×0.000301315880826269×R²
    0.00153397999999999×0.000301315880826269×6371000²
    0.00153397999999999×0.000301315880826269×40589641000000     		ar = 91671667.1985782m²