Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2305 / 4306
↖ ↑ ↗
← S  9.188870°
W 78.706055°		 ← 4 823.79 m → S  9.188870°
W 78.662110°		 →
↑
4 823.48 m
↓
↑
4 823.48 m
↓
S  9.232249°
W 78.706055°		 ← 4 823.19 m →
23 266 030 m²		 S  9.232249°
W 78.662110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28143310546875 y=0.52569580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28143310546875 × 213)
    floor (0.28143310546875 × 8192)
    floor (2305.5)     		tx = 2305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52569580078125 × 213)
    floor (0.52569580078125 × 8192)
    floor (4306.5)     		ty = 4306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2305 / 4306 ti = "13/2305/4306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2305/4306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2305 ÷ 213
    2305 ÷ 8192     		x = 0.2813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4306 ÷ 213
    4306 ÷ 8192     		y = 0.525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37367980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37367980} λ = -1.37367980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161067982723389))-π/2
    2×atan(0.851234199920901)-π/2
    2×0.705210144643685-π/2
    1.41042028928737-1.57079632675     		φ = -0.16037604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37367980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16037604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.188870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2305 KachelY 4306 -1.37367980 -0.16037604 -78.706055 -9.188870
    Oben rechts KachelX + 1 2306 KachelY 4306 -1.37291281 -0.16037604 -78.662110 -9.188870
    Unten links KachelX 2305 KachelY + 1 4307 -1.37367980 -0.16113314 -78.706055 -9.232249
    Unten rechts KachelX + 1 2306 KachelY + 1 4307 -1.37291281 -0.16113314 -78.662110 -9.232249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16037604--0.16113314) × R
    0.000757100000000011 × 6371000     		dl = 4823.48410000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16037604--0.16113314) × R
    0.000757100000000011 × 6371000     		dr = 4823.48410000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37367980--1.37291281) × cos(-0.16037604) × R
    0.000766989999999801 × 0.987167303558654 × 6371000     		do = 4823.7864049455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37367980--1.37291281) × cos(-0.16113314) × R
    0.000766989999999801 × 0.98704611977868 × 6371000     		du = 4823.1942412178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16037604)-sin(-0.16113314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987167303558654-0.98704611977868)×R²
    abs(-1.37291281--1.37367980)×0.000121183779973832×R²
    0.000766989999999801×0.000121183779973832×6371000²
    0.000766989999999801×0.000121183779973832×40589641000000     		ar = 23266029.9912295m²