Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2305 / 1904
↖ ↑ ↗
← N 12.554564°
E 22.587890°		 ← 9 539.31 m → N 12.554564°
E 22.675781°		 →
↑
9 540.89 m
↓
↑
9 540.89 m
↓
N 12.468760°
E 22.587890°		 ← 9 542.48 m →
91 028 651 m²		 N 12.468760°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5628662109375 y=0.4649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5628662109375 × 212)
    floor (0.5628662109375 × 4096)
    floor (2305.5)     		tx = 2305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4649658203125 × 212)
    floor (0.4649658203125 × 4096)
    floor (1904.5)     		ty = 1904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2305 / 1904 ti = "12/2305/1904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2305/1904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2305 ÷ 212
    2305 ÷ 4096     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1904 ÷ 212
    1904 ÷ 4096     		y = 0.46484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46484375 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.220893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220893233449219))-π/2
    2×atan(1.2471902652526)-π/2
    2×0.894957398256745-π/2
    1.78991479651349-1.57079632675     		φ = 0.21911847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21911847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.554564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2305 KachelY 1904 0.39423306 0.21911847 22.587890 12.554564
    Oben rechts KachelX + 1 2306 KachelY 1904 0.39576704 0.21911847 22.675781 12.554564
    Unten links KachelX 2305 KachelY + 1 1905 0.39423306 0.21762092 22.587890 12.468760
    Unten rechts KachelX + 1 2306 KachelY + 1 1905 0.39576704 0.21762092 22.675781 12.468760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21911847-0.21762092) × R
    0.00149755000000001 × 6371000     		dl = 9540.89105000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21911847-0.21762092) × R
    0.00149755000000001 × 6371000     		dr = 9540.89105000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(0.21911847) × R
    0.00153397999999999 × 0.976089446082766 × 6371000     		do = 9539.30905744644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(0.21762092) × R
    0.00153397999999999 × 0.976413872773476 × 6371000     		du = 9542.47967514095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21911847)-sin(0.21762092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976089446082766-0.976413872773476)×R²
    abs(0.39576704-0.39423306)×0.000324426690710644×R²
    0.00153397999999999×0.000324426690710644×6371000²
    0.00153397999999999×0.000324426690710644×40589641000000     		ar = 91028650.6805311m²