Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23043 / 39422
↖ ↑ ↗
← S 34.298068°
W 53.421021°		 ← 504.63 m → S 34.298068°
W 53.415527°		 →
↑
504.58 m
↓
↑
504.58 m
↓
S 34.302606°
W 53.421021°		 ← 504.61 m →
254 623 m²		 S 34.302606°
W 53.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351615905761719 y=0.601539611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351615905761719 × 216)
    floor (0.351615905761719 × 65536)
    floor (23043.5)     		tx = 23043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601539611816406 × 216)
    floor (0.601539611816406 × 65536)
    floor (39422.5)     		ty = 39422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23043 / 39422 ti = "16/23043/39422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23043/39422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23043 ÷ 216
    23043 ÷ 65536     		x = 0.351608276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39422 ÷ 216
    39422 ÷ 65536     		y = 0.601531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351608276367188 × 2 - 1) × π
    -0.296783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.93237270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.20306396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.637944260143707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93237270} λ = -0.93237270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.637944260143707))-π/2
    2×atan(0.528377515045347)-π/2
    2×0.486091053505554-π/2
    0.972182107011108-1.57079632675     		φ = -0.59861422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93237270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.421021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59861422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.298068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23043 KachelY 39422 -0.93237270 -0.59861422 -53.421021 -34.298068
    Oben rechts KachelX + 1 23044 KachelY 39422 -0.93227682 -0.59861422 -53.415527 -34.298068
    Unten links KachelX 23043 KachelY + 1 39423 -0.93237270 -0.59869342 -53.421021 -34.302606
    Unten rechts KachelX + 1 23044 KachelY + 1 39423 -0.93227682 -0.59869342 -53.415527 -34.302606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59861422--0.59869342) × R
    7.9200000000057e-05 × 6371000     		dl = 504.583200000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59861422--0.59869342) × R
    7.9200000000057e-05 × 6371000     		dr = 504.583200000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93237270--0.93227682) × cos(-0.59861422) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.82611729242458 × 6371000     		do = 504.634970731401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93237270--0.93227682) × cos(-0.59869342) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.826072660776376 × 6371000     		du = 504.607707423041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59861422)-sin(-0.59869342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82611729242458-0.826072660776376)×R²
    abs(-0.93227682--0.93237270)×4.46316482037856e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.46316482037856e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.46316482037856e-05×40589641000000     		ar = 254623.450193196m²