Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23033 / 39447
↖ ↑ ↗
← S 34.411442°
W 53.475952°		 ← 503.95 m → S 34.411442°
W 53.470459°		 →
↑
503.88 m
↓
↑
503.88 m
↓
S 34.415973°
W 53.475952°		 ← 503.93 m →
253 926 m²		 S 34.415973°
W 53.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351463317871094 y=0.601921081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351463317871094 × 216)
    floor (0.351463317871094 × 65536)
    floor (23033.5)     		tx = 23033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601921081542969 × 216)
    floor (0.601921081542969 × 65536)
    floor (39447.5)     		ty = 39447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23033 / 39447 ti = "16/23033/39447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23033/39447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23033 ÷ 216
    23033 ÷ 65536     		x = 0.351455688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39447 ÷ 216
    39447 ÷ 65536     		y = 0.601913452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351455688476562 × 2 - 1) × π
    -0.297088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93333144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601913452148438 × 2 - 1) × π
    -0.203826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.64034110512471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93333144} λ = -0.93333144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64034110512471))-π/2
    2×atan(0.527112592567449)-π/2
    2×0.485101684888502-π/2
    0.970203369777004-1.57079632675     		φ = -0.60059296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93333144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60059296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.411442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23033 KachelY 39447 -0.93333144 -0.60059296 -53.475952 -34.411442
    Oben rechts KachelX + 1 23034 KachelY 39447 -0.93323556 -0.60059296 -53.470459 -34.411442
    Unten links KachelX 23033 KachelY + 1 39448 -0.93333144 -0.60067205 -53.475952 -34.415973
    Unten rechts KachelX + 1 23034 KachelY + 1 39448 -0.93323556 -0.60067205 -53.470459 -34.415973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60059296--0.60067205) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dl = 503.882390000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60059296--0.60067205) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dr = 503.882390000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93333144--0.93323556) × cos(-0.60059296) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.825000659433633 × 6371000     		do = 503.952873816264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93333144--0.93323556) × cos(-0.60067205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.824955960582093 × 6371000     		du = 503.925569456646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60059296)-sin(-0.60067205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825000659433633-0.824955960582093)×R²
    abs(-0.93323556--0.93333144)×4.46988515394597e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.46988515394597e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.46988515394597e-05×40589641000000     		ar = 253926.099545535m²