Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23031 / 39445
↖ ↑ ↗
← S 34.402378°
W 53.486938°		 ← 503.95 m → S 34.402378°
W 53.481445°		 →
↑
503.95 m
↓
↑
503.95 m
↓
S 34.406910°
W 53.486938°		 ← 503.93 m →
253 959 m²		 S 34.406910°
W 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351432800292969 y=0.601890563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351432800292969 × 216)
    floor (0.351432800292969 × 65536)
    floor (23031.5)     		tx = 23031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601890563964844 × 216)
    floor (0.601890563964844 × 65536)
    floor (39445.5)     		ty = 39445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23031 / 39445 ti = "16/23031/39445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23031/39445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23031 ÷ 216
    23031 ÷ 65536     		x = 0.351425170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39445 ÷ 216
    39445 ÷ 65536     		y = 0.601882934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351425170898438 × 2 - 1) × π
    -0.297149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93352318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601882934570312 × 2 - 1) × π
    -0.203765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.64014935752623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93352318} λ = -0.93352318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64014935752623))-π/2
    2×atan(0.527213674832034)-π/2
    2×0.485180785121608-π/2
    0.970361570243215-1.57079632675     		φ = -0.60043476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93352318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.486938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60043476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.402378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23031 KachelY 39445 -0.93352318 -0.60043476 -53.486938 -34.402378
    Oben rechts KachelX + 1 23032 KachelY 39445 -0.93342731 -0.60043476 -53.481445 -34.402378
    Unten links KachelX 23031 KachelY + 1 39446 -0.93352318 -0.60051386 -53.486938 -34.406910
    Unten rechts KachelX + 1 23032 KachelY + 1 39446 -0.93342731 -0.60051386 -53.481445 -34.406910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60043476--0.60051386) × R
    7.90999999999986e-05 × 6371000     		dl = 503.946099999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60043476--0.60051386) × R
    7.90999999999986e-05 × 6371000     		dr = 503.946099999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93352318--0.93342731) × cos(-0.60043476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825090052954755 × 6371000     		do = 503.954913493406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93352318--0.93342731) × cos(-0.60051386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82504535877527 × 6371000     		du = 503.927614835186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60043476)-sin(-0.60051386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825090052954755-0.82504535877527)×R²
    abs(-0.93342731--0.93352318)×4.46941794851607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46941794851607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46941794851607e-05×40589641000000     		ar = 253959.234837119m²