Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23030 / 39446
S 34.406910°
W 53.492432°
← 503.98 m → S 34.406910°
W 53.486938°

503.95 m

503.95 m
S 34.411442°
W 53.492432°
← 503.95 m →
253 972 m²
S 34.411442°
W 53.486938°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351417541503906 y=0.601905822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351417541503906 × 216)
    floor (0.351417541503906 × 65536)
    floor (23030.5)
    tx = 23030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601905822753906 × 216)
    floor (0.601905822753906 × 65536)
    floor (39446.5)
    ty = 39446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23030 / 39446 ti = "16/23030/39446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23030/39446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23030 ÷ 216
    23030 ÷ 65536
    x = 0.351409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39446 ÷ 216
    39446 ÷ 65536
    y = 0.601898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.351409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.29718017578125 × 3.1415926535
    Λ = -0.93361906
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.601898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.20379638671875 × 3.1415926535
    Φ = -0.64024523132547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93361906} λ = -0.93361906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64024523132547))-π/2
    2×atan(0.527163131276956)-π/2
    2×0.48514123393374-π/2
    0.970282467867479-1.57079632675
    φ = -0.60051386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93361906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.492432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60051386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.406910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23030 KachelY 39446 -0.93361906 -0.60051386 -53.492432 -34.406910
    Oben rechts KachelX + 1 23031 KachelY 39446 -0.93352318 -0.60051386 -53.486938 -34.406910
    Unten links KachelX 23030 KachelY + 1 39447 -0.93361906 -0.60059296 -53.492432 -34.411442
    Unten rechts KachelX + 1 23031 KachelY + 1 39447 -0.93352318 -0.60059296 -53.486938 -34.411442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.60051386--0.60059296) × R
    7.90999999999986e-05 × 6371000
    dl = 503.946099999991m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.60051386--0.60059296) × R
    7.90999999999986e-05 × 6371000
    dr = 503.946099999991m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93361906--0.93352318) × cos(-0.60051386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.82504535877527 × 6371000
    do = 503.980178474674m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93361906--0.93352318) × cos(-0.60059296) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.825000659433633 × 6371000
    du = 503.95287381568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.60051386)-sin(-0.60059296))×
    abs(λ12)×abs(0.82504535877527-0.825000659433633)×
    abs(-0.93352318--0.93361906)×4.46993416373109e-05×
    9.58799999999371e-05×4.46993416373109e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.46993416373109e-05×40589641000000
    ar = 253971.965513836m²