Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2302 / 4345
↖ ↑ ↗
← N 64.235046°
W129.418945°		 ← 1 062.05 m → N 64.235046°
W129.396972°		 →
↑
1 062.24 m
↓
↑
1 062.24 m
↓
N 64.225493°
W129.418945°		 ← 1 062.41 m →
1 128 338 m²		 N 64.225493°
W129.396972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140533447265625 y=0.265228271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140533447265625 × 214)
    floor (0.140533447265625 × 16384)
    floor (2302.5)     		tx = 2302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265228271484375 × 214)
    floor (0.265228271484375 × 16384)
    floor (4345.5)     		ty = 4345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2302 / 4345 ti = "14/2302/4345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2302/4345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2302 ÷ 214
    2302 ÷ 16384     		x = 0.1405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4345 ÷ 214
    4345 ÷ 16384     		y = 0.26519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25878671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26519775390625 × 2 - 1) × π
    0.4696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47530602270685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25878671} λ = -2.25878671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47530602270685))-π/2
    2×atan(4.37237361382313)-π/2
    2×1.34595468152572-π/2
    2.69190936305144-1.57079632675     		φ = 1.12111304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25878671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12111304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.235046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2302 KachelY 4345 -2.25878671 1.12111304 -129.418945 64.235046
    Oben rechts KachelX + 1 2303 KachelY 4345 -2.25840321 1.12111304 -129.396972 64.235046
    Unten links KachelX 2302 KachelY + 1 4346 -2.25878671 1.12094631 -129.418945 64.225493
    Unten rechts KachelX + 1 2303 KachelY + 1 4346 -2.25840321 1.12094631 -129.396972 64.225493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12111304-1.12094631) × R
    0.000166730000000115 × 6371000     		dl = 1062.23683000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12111304-1.12094631) × R
    0.000166730000000115 × 6371000     		dr = 1062.23683000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25878671--2.25840321) × cos(1.12111304) × R
    0.00038349999999987 × 0.434680328813087 × 6371000     		do = 1062.04510176159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25878671--2.25840321) × cos(1.12094631) × R
    0.00038349999999987 × 0.434830477277033 × 6371000     		du = 1062.41195627535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12111304)-sin(1.12094631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434680328813087-0.434830477277033)×R²
    abs(-2.25840321--2.25878671)×0.000150148463946564×R²
    0.00038349999999987×0.000150148463946564×6371000²
    0.00038349999999987×0.000150148463946564×40589641000000     		ar = 1128338.26801484m²