Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2302 / 2833
↖ ↑ ↗
← N 75.403318°
W129.418945°		 ← 615.74 m → N 75.403318°
W129.396972°		 →
↑
615.82 m
↓
↑
615.82 m
↓
N 75.397779°
W129.418945°		 ← 615.97 m →
379 255 m²		 N 75.397779°
W129.396972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140533447265625 y=0.172943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140533447265625 × 214)
    floor (0.140533447265625 × 16384)
    floor (2302.5)     		tx = 2302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172943115234375 × 214)
    floor (0.172943115234375 × 16384)
    floor (2833.5)     		ty = 2833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2302 / 2833 ti = "14/2302/2833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2302/2833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2302 ÷ 214
    2302 ÷ 16384     		x = 0.1405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2833 ÷ 214
    2833 ÷ 16384     		y = 0.17291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25878671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17291259765625 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05515076051105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25878671} λ = -2.25878671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05515076051105))-π/2
    2×atan(7.80801492422746)-π/2
    2×1.44341624512839-π/2
    2.88683249025679-1.57079632675     		φ = 1.31603616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25878671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31603616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.403318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2302 KachelY 2833 -2.25878671 1.31603616 -129.418945 75.403318
    Oben rechts KachelX + 1 2303 KachelY 2833 -2.25840321 1.31603616 -129.396972 75.403318
    Unten links KachelX 2302 KachelY + 1 2834 -2.25878671 1.31593950 -129.418945 75.397779
    Unten rechts KachelX + 1 2303 KachelY + 1 2834 -2.25840321 1.31593950 -129.396972 75.397779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31603616-1.31593950) × R
    9.66599999998596e-05 × 6371000     		dl = 615.820859999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31603616-1.31593950) × R
    9.66599999998596e-05 × 6371000     		dr = 615.820859999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25878671--2.25840321) × cos(1.31603616) × R
    0.00038349999999987 × 0.252013323592363 × 6371000     		do = 615.738735246556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25878671--2.25840321) × cos(1.31593950) × R
    0.00038349999999987 × 0.252106862594012 × 6371000     		du = 615.967277078195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31603616)-sin(1.31593950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252013323592363-0.252106862594012)×R²
    abs(-2.25840321--2.25878671)×9.35390016486015e-05×R²
    0.00038349999999987×9.35390016486015e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.35390016486015e-05×40589641000000     		ar = 379255.12818262m²