Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2302 / 1907
↖ ↑ ↗
← N 12.297068°
E 22.324219°		 ← 9 548.76 m → N 12.297068°
E 22.412109°		 →
↑
9 550.32 m
↓
↑
9 550.32 m
↓
N 12.211180°
E 22.324219°		 ← 9 551.87 m →
91 208 578 m²		 N 12.211180°
E 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5621337890625 y=0.4656982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5621337890625 × 212)
    floor (0.5621337890625 × 4096)
    floor (2302.5)     		tx = 2302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4656982421875 × 212)
    floor (0.4656982421875 × 4096)
    floor (1907.5)     		ty = 1907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2302 / 1907 ti = "12/2302/1907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2302/1907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2302 ÷ 212
    2302 ÷ 4096     		x = 0.56201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1907 ÷ 212
    1907 ÷ 4096     		y = 0.465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56201171875 × 2 - 1) × π
    0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    0.06884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38963112} λ = 0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216291291085693))-π/2
    2×atan(1.2414639537193)-π/2
    2×0.892710328420877-π/2
    1.78542065684175-1.57079632675     		φ = 0.21462433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21462433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.297068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2302 KachelY 1907 0.38963112 0.21462433 22.324219 12.297068
    Oben rechts KachelX + 1 2303 KachelY 1907 0.39116510 0.21462433 22.412109 12.297068
    Unten links KachelX 2302 KachelY + 1 1908 0.38963112 0.21312530 22.324219 12.211180
    Unten rechts KachelX + 1 2303 KachelY + 1 1908 0.39116510 0.21312530 22.412109 12.211180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21462433-0.21312530) × R
    0.00149903000000001 × 6371000     		dl = 9550.32013000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21462433-0.21312530) × R
    0.00149903000000001 × 6371000     		dr = 9550.32013000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38963112-0.39116510) × cos(0.21462433) × R
    0.00153397999999999 × 0.97705647349403 × 6371000     		do = 9548.75980335923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38963112-0.39116510) × cos(0.21312530) × R
    0.00153397999999999 × 0.97737463960511 × 6371000     		du = 9551.86923649302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21462433)-sin(0.21312530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97705647349403-0.97737463960511)×R²
    abs(0.39116510-0.38963112)×0.000318166111079599×R²
    0.00153397999999999×0.000318166111079599×6371000²
    0.00153397999999999×0.000318166111079599×40589641000000     		ar = 91208578.0869811m²