Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23017 / 27671
↖ ↑ ↗
← N 26.946556°
W 53.563843°		 ← 544.53 m → N 26.946556°
W 53.558349°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
N 26.941660°
W 53.563843°		 ← 544.55 m →
296 485 m²		 N 26.941660°
W 53.558349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351219177246094 y=0.422233581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351219177246094 × 216)
    floor (0.351219177246094 × 65536)
    floor (23017.5)     		tx = 23017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422233581542969 × 216)
    floor (0.422233581542969 × 65536)
    floor (27671.5)     		ty = 27671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23017 / 27671 ti = "16/23017/27671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23017/27671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23017 ÷ 216
    23017 ÷ 65536     		x = 0.351211547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27671 ÷ 216
    27671 ÷ 65536     		y = 0.422225952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351211547851562 × 2 - 1) × π
    -0.297576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93486542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422225952148438 × 2 - 1) × π
    0.155548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488668754726852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93486542} λ = -0.93486542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488668754726852))-π/2
    2×atan(1.63014465246846)-π/2
    2×1.02055122920002-π/2
    2.04110245840005-1.57079632675     		φ = 0.47030613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93486542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.563843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47030613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.946556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23017 KachelY 27671 -0.93486542 0.47030613 -53.563843 26.946556
    Oben rechts KachelX + 1 23018 KachelY 27671 -0.93476954 0.47030613 -53.558349 26.946556
    Unten links KachelX 23017 KachelY + 1 27672 -0.93486542 0.47022067 -53.563843 26.941660
    Unten rechts KachelX + 1 23018 KachelY + 1 27672 -0.93476954 0.47022067 -53.558349 26.941660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47030613-0.47022067) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dl = 544.465659999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47030613-0.47022067) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dr = 544.465659999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93486542--0.93476954) × cos(0.47030613) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.891429604342033 × 6371000     		do = 544.531093127788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93486542--0.93476954) × cos(0.47022067) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.891468328071976 × 6371000     		du = 544.554747575535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47030613)-sin(0.47022067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891429604342033-0.891468328071976)×R²
    abs(-0.93476954--0.93486542)×3.87237299421805e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.87237299421805e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.87237299421805e-05×40589641000000     		ar = 296484.920707978m²