Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 230 / 119
↖ ↑ ↗
← N 68.911005°
W 18.281250°		 ← 28.132 km → N 68.911005°
W 17.578125°		 →
↑
28.294 km
↓
↑
28.294 km
↓
N 68.656555°
W 18.281250°		 ← 28.456 km →
800.533 km²		 N 68.656555°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4501953125 y=0.2333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4501953125 × 29)
    floor (0.4501953125 × 512)
    floor (230.5)     		tx = 230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2333984375 × 29)
    floor (0.2333984375 × 512)
    floor (119.5)     		ty = 119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 230 / 119 ti = "9/230/119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/230/119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 230 ÷ 29
    230 ÷ 512     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119 ÷ 29
    119 ÷ 512     		y = 0.232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232421875 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68124294347461))-π/2
    2×atan(5.37222920026812)-π/2
    2×1.38676012609572-π/2
    2.77352025219145-1.57079632675     		φ = 1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 230 KachelY 119 -0.31906800 1.20272393 -18.281250 68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 231 KachelY 119 -0.30679616 1.20272393 -17.578125 68.911005
    Unten links KachelX 230 KachelY + 1 120 -0.31906800 1.19828294 -18.281250 68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 231 KachelY + 1 120 -0.30679616 1.19828294 -17.578125 68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20272393-1.19828294) × R
    0.0044409900000002 × 6371000     		dl = 28293.5472900013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20272393-1.19828294) × R
    0.0044409900000002 × 6371000     		dr = 28293.5472900013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.30679616) × cos(1.20272393) × R
    0.01227184 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 28131.9409273396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.30679616) × cos(1.19828294) × R
    0.01227184 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 28455.6208726967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20272393)-sin(1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.363957586554578)×R²
    abs(-0.30679616--0.31906800)×0.00413998247500219×R²
    0.01227184×0.00413998247500219×6371000²
    0.01227184×0.00413998247500219×40589641000000     		ar = 800532743.609745m²