Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2296 / 2394
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
E 21.796875°		 ← 8 541.41 m → S 29.075375°
E 21.884766°		 →
↑
8 538.22 m
↓
↑
8 538.22 m
↓
S 29.152161°
E 21.796875°		 ← 8 535.03 m →
72 901 237 m²		 S 29.152161°
E 21.884766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5606689453125 y=0.5845947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5606689453125 × 212)
    floor (0.5606689453125 × 4096)
    floor (2296.5)     		tx = 2296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5845947265625 × 212)
    floor (0.5845947265625 × 4096)
    floor (2394.5)     		ty = 2394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2296 / 2394 ti = "12/2296/2394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2296/2394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2296 ÷ 212
    2296 ÷ 4096     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2394 ÷ 212
    2394 ÷ 4096     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2296 KachelY 2394 0.38042724 -0.50746103 21.796875 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 2297 KachelY 2394 0.38196122 -0.50746103 21.884766 -29.075375
    Unten links KachelX 2296 KachelY + 1 2395 0.38042724 -0.50880120 21.796875 -29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 2297 KachelY + 1 2395 0.38196122 -0.50880120 21.884766 -29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.50880120) × R
    0.00134016999999997 × 6371000     		dl = 8538.22306999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.50880120) × R
    0.00134016999999997 × 6371000     		dr = 8538.22306999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38196122) × cos(-0.50746103) × R
    0.00153397999999999 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 8541.4061545344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38196122) × cos(-0.50880120) × R
    0.00153397999999999 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 8535.03364526614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.873329107269294)×R²
    abs(0.38196122-0.38042724)×0.000652053414388232×R²
    0.00153397999999999×0.000652053414388232×6371000²
    0.00153397999999999×0.000652053414388232×40589641000000     		ar = 72901237.0372854m²