Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2295 / 2393
↖ ↑ ↗
← S 28.998532°
E 21.708984°		 ← 8 547.82 m → S 28.998532°
E 21.796875°		 →
↑
8 544.59 m
↓
↑
8 544.59 m
↓
S 29.075375°
E 21.708984°		 ← 8 541.46 m →
73 010 515 m²		 S 29.075375°
E 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5604248046875 y=0.5843505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5604248046875 × 212)
    floor (0.5604248046875 × 4096)
    floor (2295.5)     		tx = 2295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5843505859375 × 212)
    floor (0.5843505859375 × 4096)
    floor (2393.5)     		ty = 2393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2295 / 2393 ti = "12/2295/2393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2295/2393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2295 ÷ 212
    2295 ÷ 4096     		x = 0.560302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2393 ÷ 212
    2393 ÷ 4096     		y = 0.584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560302734375 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.52922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37889325} λ = 0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52922337180542))-π/2
    2×atan(0.589062274448181)-π/2
    2×0.532338234204299-π/2
    1.0646764684086-1.57079632675     		φ = -0.50611986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50611986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.998532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2295 KachelY 2393 0.37889325 -0.50611986 21.708984 -28.998532
    Oben rechts KachelX + 1 2296 KachelY 2393 0.38042724 -0.50611986 21.796875 -28.998532
    Unten links KachelX 2295 KachelY + 1 2394 0.37889325 -0.50746103 21.708984 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 2296 KachelY + 1 2394 0.38042724 -0.50746103 21.796875 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50611986--0.50746103) × R
    0.00134117 × 6371000     		dl = 8544.59407000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50611986--0.50746103) × R
    0.00134117 × 6371000     		dr = 8544.59407000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37889325-0.38042724) × cos(-0.50611986) × R
    0.00153398999999999 × 0.874632129167169 × 6371000     		do = 8547.82378360044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37889325-0.38042724) × cos(-0.50746103) × R
    0.00153398999999999 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 8541.46183587412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50611986)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874632129167169-0.873981160683682)×R²
    abs(0.38042724-0.37889325)×0.000650968483486891×R²
    0.00153398999999999×0.000650968483486891×6371000²
    0.00153398999999999×0.000650968483486891×40589641000000     		ar = 73010515.2262418m²