Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2293 / 4294
↖ ↑ ↗
← S  8.667918°
W 79.233398°		 ← 4 830.68 m → S  8.667918°
W 79.189453°		 →
↑
4 830.36 m
↓
↑
4 830.36 m
↓
S  8.711359°
W 79.233398°		 ← 4 830.12 m →
23 332 605 m²		 S  8.711359°
W 79.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27996826171875 y=0.52423095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27996826171875 × 213)
    floor (0.27996826171875 × 8192)
    floor (2293.5)     		tx = 2293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52423095703125 × 213)
    floor (0.52423095703125 × 8192)
    floor (4294.5)     		ty = 4294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2293 / 4294 ti = "13/2293/4294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2293/4294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2293 ÷ 213
    2293 ÷ 8192     		x = 0.2799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4294 ÷ 213
    4294 ÷ 8192     		y = 0.524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38288368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38288368} λ = -1.38288368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151864097996338))-π/2
    2×atan(0.859105026902437)-π/2
    2×0.709756309182531-π/2
    1.41951261836506-1.57079632675     		φ = -0.15128371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38288368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.233398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15128371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.667918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2293 KachelY 4294 -1.38288368 -0.15128371 -79.233398 -8.667918
    Oben rechts KachelX + 1 2294 KachelY 4294 -1.38211669 -0.15128371 -79.189453 -8.667918
    Unten links KachelX 2293 KachelY + 1 4295 -1.38288368 -0.15204189 -79.233398 -8.711359
    Unten rechts KachelX + 1 2294 KachelY + 1 4295 -1.38211669 -0.15204189 -79.189453 -8.711359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15128371--0.15204189) × R
    0.000758180000000025 × 6371000     		dl = 4830.36478000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15128371--0.15204189) × R
    0.000758180000000025 × 6371000     		dr = 4830.36478000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38288368--1.38211669) × cos(-0.15128371) × R
    0.000766990000000023 × 0.988578428060257 × 6371000     		do = 4830.68185535534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38288368--1.38211669) × cos(-0.15204189) × R
    0.000766990000000023 × 0.988463880671546 × 6371000     		du = 4830.12212030901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15128371)-sin(-0.15204189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988578428060257-0.988463880671546)×R²
    abs(-1.38211669--1.38288368)×0.000114547388710529×R²
    0.000766990000000023×0.000114547388710529×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114547388710529×40589641000000     		ar = 23332604.7529708m²