Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2290 / 1810
↖ ↑ ↗
← N 70.348317°
W 79.365234°		 ← 1 643.33 m → N 70.348317°
W 79.321289°		 →
↑
1 643.91 m
↓
↑
1 643.91 m
↓
N 70.333533°
W 79.365234°		 ← 1 644.52 m →
2 702 467 m²		 N 70.333533°
W 79.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27960205078125 y=0.22100830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27960205078125 × 213)
    floor (0.27960205078125 × 8192)
    floor (2290.5)     		tx = 2290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22100830078125 × 213)
    floor (0.22100830078125 × 8192)
    floor (1810.5)     		ty = 1810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2290 / 1810 ti = "13/2290/1810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2290/1810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2290 ÷ 213
    2290 ÷ 8192     		x = 0.279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1810 ÷ 213
    1810 ÷ 8192     		y = 0.220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.44091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38518465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38518465} λ = -1.38518465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75334004050317))-π/2
    2×atan(5.77385541659152)-π/2
    2×1.39930304571797-π/2
    2.79860609143593-1.57079632675     		φ = 1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38518465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2290 KachelY 1810 -1.38518465 1.22780976 -79.365234 70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 2291 KachelY 1810 -1.38441766 1.22780976 -79.321289 70.348317
    Unten links KachelX 2290 KachelY + 1 1811 -1.38518465 1.22755173 -79.365234 70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 2291 KachelY + 1 1811 -1.38441766 1.22755173 -79.321289 70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22780976-1.22755173) × R
    0.000258029999999909 × 6371000     		dl = 1643.90912999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22780976-1.22755173) × R
    0.000258029999999909 × 6371000     		dr = 1643.90912999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38518465--1.38441766) × cos(1.22780976) × R
    0.000766990000000023 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 1643.33355943482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38518465--1.38441766) × cos(1.22755173) × R
    0.000766990000000023 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 1644.52092702554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22780976)-sin(1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336544190164127)×R²
    abs(-1.38441766--1.38518465)×0.000242989710668606×R²
    0.000766990000000023×0.000242989710668606×6371000²
    0.000766990000000023×0.000242989710668606×40589641000000     		ar = 2702467.01919521m²