Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22882 / 11491
↖ ↑ ↗
← N 81.425817°
W117.152710°		 ← 45.54 m → N 81.425817°
W117.149963°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.425407°
W117.152710°		 ← 45.54 m →
2 074 m²		 N 81.425407°
W117.149963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.174579620361328 y=0.0876731872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.174579620361328 × 217)
    floor (0.174579620361328 × 131072)
    floor (22882.5)     		tx = 22882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876731872558594 × 217)
    floor (0.0876731872558594 × 131072)
    floor (11491.5)     		ty = 11491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22882 / 11491 ti = "17/22882/11491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22882/11491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22882 ÷ 217
    22882 ÷ 131072     		x = 0.174575805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11491 ÷ 217
    11491 ÷ 131072     		y = 0.0876693725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.174575805664062 × 2 - 1) × π
    -0.650848388671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.04470052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0876693725585938 × 2 - 1) × π
    0.824661254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.59074973996593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04470052} λ = -2.04470052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59074973996593))-π/2
    2×atan(13.339769213039)-π/2
    2×1.49597246114018-π/2
    2.99194492228036-1.57079632675     		φ = 1.42114860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04470052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.152710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42114860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.425817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22882 KachelY 11491 -2.04470052 1.42114860 -117.152710 81.425817
    Oben rechts KachelX + 1 22883 KachelY 11491 -2.04465258 1.42114860 -117.149963 81.425817
    Unten links KachelX 22882 KachelY + 1 11492 -2.04470052 1.42114145 -117.152710 81.425407
    Unten rechts KachelX + 1 22883 KachelY + 1 11492 -2.04465258 1.42114145 -117.149963 81.425407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42114860-1.42114145) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42114860-1.42114145) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04470052--2.04465258) × cos(1.42114860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149089805651697 × 6371000     		do = 45.535864217596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04470052--2.04465258) × cos(1.42114145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149096875737053 × 6371000     		du = 45.5380236036476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42114860)-sin(1.42114145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149089805651697-0.149096875737053)×R²
    abs(-2.04465258--2.04470052)×7.07008535544285e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07008535544285e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07008535544285e-06×40589641000000     		ar = 2074.32846794314m²