Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2288 / 6480
↖ ↑ ↗
← S 71.746432°
W 79.453125°		 ← 1 530.56 m → S 71.746432°
W 79.409180°		 →
↑
1 530 m
↓
↑
1 530 m
↓
S 71.760191°
W 79.453125°		 ← 1 529.45 m →
2 340 900 m²		 S 71.760191°
W 79.409180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27935791015625 y=0.79107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27935791015625 × 213)
    floor (0.27935791015625 × 8192)
    floor (2288.5)     		tx = 2288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79107666015625 × 213)
    floor (0.79107666015625 × 8192)
    floor (6480.5)     		ty = 6480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2288 / 6480 ti = "13/2288/6480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2288/6480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2288 ÷ 213
    2288 ÷ 8192     		x = 0.279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6480 ÷ 213
    6480 ÷ 8192     		y = 0.791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279296875 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38671863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791015625 × 2 - 1) × π
    -0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38671863} λ = -1.38671863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82850509910742))-π/2
    2×atan(0.160653549490571)-π/2
    2×0.159292433378349-π/2
    0.318584866756697-1.57079632675     		φ = -1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38671863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2288 KachelY 6480 -1.38671863 -1.25221146 -79.453125 -71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 2289 KachelY 6480 -1.38595164 -1.25221146 -79.409180 -71.746432
    Unten links KachelX 2288 KachelY + 1 6481 -1.38671863 -1.25245161 -79.453125 -71.760191
    Unten rechts KachelX + 1 2289 KachelY + 1 6481 -1.38595164 -1.25245161 -79.409180 -71.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25221146--1.25245161) × R
    0.000240149999999995 × 6371000     		dl = 1529.99564999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25221146--1.25245161) × R
    0.000240149999999995 × 6371000     		dr = 1529.99564999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38671863--1.38595164) × cos(-1.25221146) × R
    0.000766990000000023 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 1530.56185092108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38671863--1.38595164) × cos(-1.25245161) × R
    0.000766990000000023 × 0.312994876938216 × 6371000     		du = 1529.44736596301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25221146)-sin(-1.25245161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.312994876938216)×R²
    abs(-1.38595164--1.38671863)×0.000228074590903182×R²
    0.000766990000000023×0.000228074590903182×6371000²
    0.000766990000000023×0.000228074590903182×40589641000000     		ar = 2340900.40664657m²