Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2288 / 2455
↖ ↑ ↗
← S 33.651208°
E 21.093750°		 ← 8 135.29 m → S 33.651208°
E 21.181641°		 →
↑
8 131.88 m
↓
↑
8 131.88 m
↓
S 33.724340°
E 21.093750°		 ← 8 128.37 m →
66 127 094 m²		 S 33.724340°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5587158203125 y=0.5994873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5587158203125 × 212)
    floor (0.5587158203125 × 4096)
    floor (2288.5)     		tx = 2288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5994873046875 × 212)
    floor (0.5994873046875 × 4096)
    floor (2455.5)     		ty = 2455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2288 / 2455 ti = "12/2288/2455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2288/2455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2288 ÷ 212
    2288 ÷ 4096     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2455 ÷ 212
    2455 ÷ 4096     		y = 0.599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.19873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.624330180651611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624330180651611))-π/2
    2×atan(0.535620077081722)-π/2
    2×0.491735972357091-π/2
    0.983471944714183-1.57079632675     		φ = -0.58732438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58732438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.651208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2288 KachelY 2455 0.36815539 -0.58732438 21.093750 -33.651208
    Oben rechts KachelX + 1 2289 KachelY 2455 0.36968937 -0.58732438 21.181641 -33.651208
    Unten links KachelX 2288 KachelY + 1 2456 0.36815539 -0.58860077 21.093750 -33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 2289 KachelY + 1 2456 0.36968937 -0.58860077 21.181641 -33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58732438--0.58860077) × R
    0.00127639000000002 × 6371000     		dl = 8131.8806900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58732438--0.58860077) × R
    0.00127639000000002 × 6371000     		dr = 8131.8806900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.36968937) × cos(-0.58732438) × R
    0.00153397999999999 × 0.832426313677695 × 6371000     		do = 8135.29119241093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.36968937) × cos(-0.58860077) × R
    0.00153397999999999 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 8128.37219914279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58732438)-sin(-0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832426313677695-0.831718342454006)×R²
    abs(0.36968937-0.36815539)×0.00070797122368893×R²
    0.00153397999999999×0.00070797122368893×6371000²
    0.00153397999999999×0.00070797122368893×40589641000000     		ar = 66127094.1189176m²