Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2287 / 2454
↖ ↑ ↗
← S 33.578015°
E 21.005859°		 ← 8 142.20 m → S 33.578015°
E 21.093750°		 →
↑
8 138.76 m
↓
↑
8 138.76 m
↓
S 33.651208°
E 21.005859°		 ← 8 135.29 m →
66 239 329 m²		 S 33.651208°
E 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5584716796875 y=0.5992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5584716796875 × 212)
    floor (0.5584716796875 × 4096)
    floor (2287.5)     		tx = 2287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5992431640625 × 212)
    floor (0.5992431640625 × 4096)
    floor (2454.5)     		ty = 2454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2287 / 2454 ti = "12/2287/2454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2287/2454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2287 ÷ 212
    2287 ÷ 4096     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2454 ÷ 212
    2454 ÷ 4096     		y = 0.59912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62279619986377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62279619986377))-π/2
    2×atan(0.536442338494915)-π/2
    2×0.492374706603153-π/2
    0.984749413206306-1.57079632675     		φ = -0.58604691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58604691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.578015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2287 KachelY 2454 0.36662141 -0.58604691 21.005859 -33.578015
    Oben rechts KachelX + 1 2288 KachelY 2454 0.36815539 -0.58604691 21.093750 -33.578015
    Unten links KachelX 2287 KachelY + 1 2455 0.36662141 -0.58732438 21.005859 -33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 2288 KachelY + 1 2455 0.36815539 -0.58732438 21.093750 -33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58604691--0.58732438) × R
    0.00127747 × 6371000     		dl = 8138.76137000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58604691--0.58732438) × R
    0.00127747 × 6371000     		dr = 8138.76137000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.58604691) × R
    0.00153398000000005 × 0.833133526054537 × 6371000     		do = 8142.20276947932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.58732438) × R
    0.00153398000000005 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 8135.29119241123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58604691)-sin(-0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833133526054537-0.832426313677695)×R²
    abs(0.36815539-0.36662141)×0.00070721237684257×R²
    0.00153398000000005×0.00070721237684257×6371000²
    0.00153398000000005×0.00070721237684257×40589641000000     		ar = 66239328.5368774m²