Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2287 / 2453
↖ ↑ ↗
← S 33.504759°
E 21.005859°		 ← 8 149.11 m → S 33.504759°
E 21.093750°		 →
↑
8 145.64 m
↓
↑
8 145.64 m
↓
S 33.578015°
E 21.005859°		 ← 8 142.20 m →
66 351 598 m²		 S 33.578015°
E 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5584716796875 y=0.5989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5584716796875 × 212)
    floor (0.5584716796875 × 4096)
    floor (2287.5)     		tx = 2287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5989990234375 × 212)
    floor (0.5989990234375 × 4096)
    floor (2453.5)     		ty = 2453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2287 / 2453 ti = "12/2287/2453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2287/2453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2287 ÷ 212
    2287 ÷ 4096     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2453 ÷ 212
    2453 ÷ 4096     		y = 0.598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.19775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621262219075928))-π/2
    2×atan(0.537265862209243)-π/2
    2×0.493013982982139-π/2
    0.986027965964277-1.57079632675     		φ = -0.58476836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58476836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.504759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2287 KachelY 2453 0.36662141 -0.58476836 21.005859 -33.504759
    Oben rechts KachelX + 1 2288 KachelY 2453 0.36815539 -0.58476836 21.093750 -33.504759
    Unten links KachelX 2287 KachelY + 1 2454 0.36662141 -0.58604691 21.005859 -33.578015
    Unten rechts KachelX + 1 2288 KachelY + 1 2454 0.36815539 -0.58604691 21.093750 -33.578015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58476836--0.58604691) × R
    0.00127854999999999 × 6371000     		dl = 8145.64204999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58476836--0.58604691) × R
    0.00127854999999999 × 6371000     		dr = 8145.64204999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.58476836) × R
    0.00153398000000005 × 0.833839974983535 × 6371000     		do = 8149.10688538186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.58604691) × R
    0.00153398000000005 × 0.833133526054537 × 6371000     		du = 8142.20276947932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58476836)-sin(-0.58604691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833839974983535-0.833133526054537)×R²
    abs(0.36815539-0.36662141)×0.000706448928997294×R²
    0.00153398000000005×0.000706448928997294×6371000²
    0.00153398000000005×0.000706448928997294×40589641000000     		ar = 66351597.5257962m²