Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2287 / 2383
↖ ↑ ↗
← S 28.226970°
E 21.005859°		 ← 8 610.79 m → S 28.226970°
E 21.093750°		 →
↑
8 607.73 m
↓
↑
8 607.73 m
↓
S 28.304381°
E 21.005859°		 ← 8 604.54 m →
74 092 478 m²		 S 28.304381°
E 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5584716796875 y=0.5819091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5584716796875 × 212)
    floor (0.5584716796875 × 4096)
    floor (2287.5)     		tx = 2287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5819091796875 × 212)
    floor (0.5819091796875 × 4096)
    floor (2383.5)     		ty = 2383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2287 / 2383 ti = "12/2287/2383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2287/2383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2287 ÷ 212
    2287 ÷ 4096     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2383 ÷ 212
    2383 ÷ 4096     		y = 0.581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513883563927002))-π/2
    2×atan(0.598168038345507)-π/2
    2×0.53907138088346-π/2
    1.07814276176692-1.57079632675     		φ = -0.49265356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49265356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2287 KachelY 2383 0.36662141 -0.49265356 21.005859 -28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 2288 KachelY 2383 0.36815539 -0.49265356 21.093750 -28.226970
    Unten links KachelX 2287 KachelY + 1 2384 0.36662141 -0.49400464 21.005859 -28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 2288 KachelY + 1 2384 0.36815539 -0.49400464 21.093750 -28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49265356--0.49400464) × R
    0.00135108 × 6371000     		dl = 8607.73068000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49265356--0.49400464) × R
    0.00135108 × 6371000     		dr = 8607.73068000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.49265356) × R
    0.00153398000000005 × 0.881080919624945 × 6371000     		do = 8610.79200338891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36815539) × cos(-0.49400464) × R
    0.00153398000000005 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 8604.53906799183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49265356)-sin(-0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881080919624945-0.880441101351802)×R²
    abs(0.36815539-0.36662141)×0.000639818273143633×R²
    0.00153398000000005×0.000639818273143633×6371000²
    0.00153398000000005×0.000639818273143633×40589641000000     		ar = 74092477.9855513m²