Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2286 / 2452
↖ ↑ ↗
← S 33.431441°
E 20.917969°		 ← 8 156 m → S 33.431441°
E 21.005859°		 →
↑
8 152.59 m
↓
↑
8 152.59 m
↓
S 33.504759°
E 20.917969°		 ← 8 149.11 m →
66 464 420 m²		 S 33.504759°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5582275390625 y=0.5987548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5582275390625 × 212)
    floor (0.5582275390625 × 4096)
    floor (2286.5)     		tx = 2286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5987548828125 × 212)
    floor (0.5987548828125 × 4096)
    floor (2452.5)     		ty = 2452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2286 / 2452 ti = "12/2286/2452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2286/2452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2286 ÷ 212
    2286 ÷ 4096     		x = 0.55810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2452 ÷ 212
    2452 ÷ 4096     		y = 0.5986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5986328125 × 2 - 1) × π
    -0.197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.619728238288086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36508743} λ = 0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619728238288086))-π/2
    2×atan(0.538090650162539)-π/2
    2×0.49365380090828-π/2
    0.98730760181656-1.57079632675     		φ = -0.58348872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58348872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.431441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2286 KachelY 2452 0.36508743 -0.58348872 20.917969 -33.431441
    Oben rechts KachelX + 1 2287 KachelY 2452 0.36662141 -0.58348872 21.005859 -33.431441
    Unten links KachelX 2286 KachelY + 1 2453 0.36508743 -0.58476836 20.917969 -33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 2287 KachelY + 1 2453 0.36662141 -0.58476836 21.005859 -33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58348872--0.58476836) × R
    0.00127964000000003 × 6371000     		dl = 8152.58644000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58348872--0.58476836) × R
    0.00127964000000003 × 6371000     		dr = 8152.58644000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36508743-0.36662141) × cos(-0.58348872) × R
    0.00153397999999999 × 0.834545661366529 × 6371000     		do = 8156.00354893226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36508743-0.36662141) × cos(-0.58476836) × R
    0.00153397999999999 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 8149.10688538157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58348872)-sin(-0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834545661366529-0.833839974983535)×R²
    abs(0.36662141-0.36508743)×0.000705686382994619×R²
    0.00153397999999999×0.000705686382994619×6371000²
    0.00153397999999999×0.000705686382994619×40589641000000     		ar = 66464420.1842504m²