Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22858 / 47422
↖ ↑ ↗
← S 62.425989°
W 54.437256°		 ← 282.73 m → S 62.425989°
W 54.431763°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
S 62.428532°
W 54.437256°		 ← 282.71 m →
79 937 m²		 S 62.428532°
W 54.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348793029785156 y=0.723609924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348793029785156 × 216)
    floor (0.348793029785156 × 65536)
    floor (22858.5)     		tx = 22858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723609924316406 × 216)
    floor (0.723609924316406 × 65536)
    floor (47422.5)     		ty = 47422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22858 / 47422 ti = "16/22858/47422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22858/47422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22858 ÷ 216
    22858 ÷ 65536     		x = 0.348785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47422 ÷ 216
    47422 ÷ 65536     		y = 0.723602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.30242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95010935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.44720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40493465406461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95010935} λ = -0.95010935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40493465406461))-π/2
    2×atan(0.245383090716626)-π/2
    2×0.240628638581896-π/2
    0.481257277163791-1.57079632675     		φ = -1.08953905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95010935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08953905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.425989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22858 KachelY 47422 -0.95010935 -1.08953905 -54.437256 -62.425989
    Oben rechts KachelX + 1 22859 KachelY 47422 -0.95001348 -1.08953905 -54.431763 -62.425989
    Unten links KachelX 22858 KachelY + 1 47423 -0.95010935 -1.08958343 -54.437256 -62.428532
    Unten rechts KachelX + 1 22859 KachelY + 1 47423 -0.95001348 -1.08958343 -54.431763 -62.428532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08953905--1.08958343) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08953905--1.08958343) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95010935--0.95001348) × cos(-1.08953905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462894008403778 × 6371000     		do = 282.729999139299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95010935--0.95001348) × cos(-1.08958343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462854668910698 × 6371000     		du = 282.705971058047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08953905)-sin(-1.08958343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462894008403778-0.462854668910698)×R²
    abs(-0.95001348--0.95010935)×3.93394930797708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93394930797708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93394930797708e-05×40589641000000     		ar = 79937.0910554247m²