Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22855 / 47426
↖ ↑ ↗
← S 62.436159°
W 54.453735°		 ← 282.63 m → S 62.436159°
W 54.448242°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
S 62.438700°
W 54.453735°		 ← 282.61 m →
79 874 m²		 S 62.438700°
W 54.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348747253417969 y=0.723670959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348747253417969 × 216)
    floor (0.348747253417969 × 65536)
    floor (22855.5)     		tx = 22855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723670959472656 × 216)
    floor (0.723670959472656 × 65536)
    floor (47426.5)     		ty = 47426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22855 / 47426 ti = "16/22855/47426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22855/47426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22855 ÷ 216
    22855 ÷ 65536     		x = 0.348739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47426 ÷ 216
    47426 ÷ 65536     		y = 0.723663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.302520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95039697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.44732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40531814926157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95039697} λ = -0.95039697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40531814926157))-π/2
    2×atan(0.245289005521685)-π/2
    2×0.240539894852258-π/2
    0.481079789704515-1.57079632675     		φ = -1.08971654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95039697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08971654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.436159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22855 KachelY 47426 -0.95039697 -1.08971654 -54.453735 -62.436159
    Oben rechts KachelX + 1 22856 KachelY 47426 -0.95030110 -1.08971654 -54.448242 -62.436159
    Unten links KachelX 22855 KachelY + 1 47427 -0.95039697 -1.08976090 -54.453735 -62.438700
    Unten rechts KachelX + 1 22856 KachelY + 1 47427 -0.95030110 -1.08976090 -54.448242 -62.438700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08971654--1.08976090) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dl = 282.61755999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08971654--1.08976090) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dr = 282.61755999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95039697--0.95030110) × cos(-1.08971654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462736671556855 × 6371000     		do = 282.633899717428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95039697--0.95030110) × cos(-1.08976090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462697346148657 × 6371000     		du = 282.60988023905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08971654)-sin(-1.08976090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462736671556855-0.462697346148657)×R²
    abs(-0.95030110--0.95039697)×3.93254081977878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93254081977878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93254081977878e-05×40589641000000     		ar = 79873.9089612055m²