Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22851 / 47431
↖ ↑ ↗
← S 62.448865°
W 54.475708°		 ← 282.54 m → S 62.448865°
W 54.470215°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
S 62.451406°
W 54.475708°		 ← 282.52 m →
79 830 m²		 S 62.451406°
W 54.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348686218261719 y=0.723747253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348686218261719 × 216)
    floor (0.348686218261719 × 65536)
    floor (22851.5)     		tx = 22851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723747253417969 × 216)
    floor (0.723747253417969 × 65536)
    floor (47431.5)     		ty = 47431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22851 / 47431 ti = "16/22851/47431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22851/47431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22851 ÷ 216
    22851 ÷ 65536     		x = 0.348678588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47431 ÷ 216
    47431 ÷ 65536     		y = 0.723739624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348678588867188 × 2 - 1) × π
    -0.302642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95078047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.447479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40579751825777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95078047} λ = -0.95078047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40579751825777))-π/2
    2×atan(0.245171449755875)-π/2
    2×0.240429007608586-π/2
    0.480858015217173-1.57079632675     		φ = -1.08993831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95078047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.475708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08993831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.448865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22851 KachelY 47431 -0.95078047 -1.08993831 -54.475708 -62.448865
    Oben rechts KachelX + 1 22852 KachelY 47431 -0.95068459 -1.08993831 -54.470215 -62.448865
    Unten links KachelX 22851 KachelY + 1 47432 -0.95078047 -1.08998266 -54.475708 -62.451406
    Unten rechts KachelX + 1 22852 KachelY + 1 47432 -0.95068459 -1.08998266 -54.470215 -62.451406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08993831--1.08998266) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08993831--1.08998266) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95078047--0.95068459) × cos(-1.08993831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.462540062009588 × 6371000     		do = 282.543281437664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95078047--0.95068459) × cos(-1.08998266) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.462500740916468 × 6371000     		du = 282.519262089736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08993831)-sin(-1.08998266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462540062009588-0.462500740916468)×R²
    abs(-0.95068459--0.95078047)×3.93210931208254e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.93210931208254e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.93210931208254e-05×40589641000000     		ar = 79830.2985955249m²