Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22851 / 47417
↖ ↑ ↗
← S 62.413273°
W 54.475708°		 ← 282.88 m → S 62.413273°
W 54.470215°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
S 62.415816°
W 54.475708°		 ← 282.86 m →
79 997 m²		 S 62.415816°
W 54.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348686218261719 y=0.723533630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348686218261719 × 216)
    floor (0.348686218261719 × 65536)
    floor (22851.5)     		tx = 22851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723533630371094 × 216)
    floor (0.723533630371094 × 65536)
    floor (47417.5)     		ty = 47417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22851 / 47417 ti = "16/22851/47417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22851/47417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22851 ÷ 216
    22851 ÷ 65536     		x = 0.348678588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47417 ÷ 216
    47417 ÷ 65536     		y = 0.723526000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348678588867188 × 2 - 1) × π
    -0.302642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95078047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723526000976562 × 2 - 1) × π
    -0.447052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40445528506841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95078047} λ = -0.95078047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40445528506841))-π/2
    2×atan(0.245500747960872)-π/2
    2×0.240739610674559-π/2
    0.481479221349118-1.57079632675     		φ = -1.08931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95078047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.475708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.413273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22851 KachelY 47417 -0.95078047 -1.08931711 -54.475708 -62.413273
    Oben rechts KachelX + 1 22852 KachelY 47417 -0.95068459 -1.08931711 -54.470215 -62.413273
    Unten links KachelX 22851 KachelY + 1 47418 -0.95078047 -1.08936150 -54.475708 -62.415816
    Unten rechts KachelX + 1 22852 KachelY + 1 47418 -0.95068459 -1.08936150 -54.470215 -62.415816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08931711--1.08936150) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08931711--1.08936150) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95078047--0.95068459) × cos(-1.08931711) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.46309072764443 × 6371000     		do = 282.879656355692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95078047--0.95068459) × cos(-1.08936150) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.463051383848177 × 6371000     		du = 282.855623139521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08931711)-sin(-1.08936150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46309072764443-0.463051383848177)×R²
    abs(-0.95068459--0.95078047)×3.9343796253144e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9343796253144e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9343796253144e-05×40589641000000     		ar = 79997.4266534385m²