Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22850 / 11522
↖ ↑ ↗
← N 81.413113°
W117.240601°		 ← 45.60 m → N 81.413113°
W117.237854°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
N 81.412703°
W117.240601°		 ← 45.60 m →
2 080 m²		 N 81.412703°
W117.237854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.174335479736328 y=0.0879096984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.174335479736328 × 217)
    floor (0.174335479736328 × 131072)
    floor (22850.5)     		tx = 22850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0879096984863281 × 217)
    floor (0.0879096984863281 × 131072)
    floor (11522.5)     		ty = 11522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22850 / 11522 ti = "17/22850/11522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22850/11522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22850 ÷ 217
    22850 ÷ 131072     		x = 0.174331665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11522 ÷ 217
    11522 ÷ 131072     		y = 0.0879058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.174331665039062 × 2 - 1) × π
    -0.651336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.04623450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0879058837890625 × 2 - 1) × π
    0.824188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58926369607771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04623450} λ = -2.04623450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58926369607771))-π/2
    2×atan(13.3199604525188)-π/2
    2×1.49586160271083-π/2
    2.99172320542165-1.57079632675     		φ = 1.42092688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04623450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.240601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42092688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.413113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22850 KachelY 11522 -2.04623450 1.42092688 -117.240601 81.413113
    Oben rechts KachelX + 1 22851 KachelY 11522 -2.04618656 1.42092688 -117.237854 81.413113
    Unten links KachelX 22850 KachelY + 1 11523 -2.04623450 1.42091972 -117.240601 81.412703
    Unten rechts KachelX + 1 22851 KachelY + 1 11523 -2.04618656 1.42091972 -117.237854 81.412703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42092688-1.42091972) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dl = 45.6163599986239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42092688-1.42091972) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dr = 45.6163599986239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04623450--2.04618656) × cos(1.42092688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149309043967106 × 6371000     		do = 45.6028252423159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04623450--2.04618656) × cos(1.42091972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149316123703825 × 6371000     		du = 45.6049875761424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42092688)-sin(1.42091972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149309043967106-0.149316123703825)×R²
    abs(-2.04618656--2.04623450)×7.07973671912332e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07973671912332e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07973671912332e-06×40589641000000     		ar = 2080.28421218284m²