Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2285 / 6572
↖ ↑ ↗
← S 72.971189°
W 79.584961°		 ← 1 431.02 m → S 72.971189°
W 79.541015°		 →
↑
1 430.48 m
↓
↑
1 430.48 m
↓
S 72.984054°
W 79.584961°		 ← 1 429.97 m →
2 046 299 m²		 S 72.984054°
W 79.541015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27899169921875 y=0.80230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27899169921875 × 213)
    floor (0.27899169921875 × 8192)
    floor (2285.5)     		tx = 2285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80230712890625 × 213)
    floor (0.80230712890625 × 8192)
    floor (6572.5)     		ty = 6572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2285 / 6572 ti = "13/2285/6572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2285/6572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2285 ÷ 213
    2285 ÷ 8192     		x = 0.2789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6572 ÷ 213
    6572 ÷ 8192     		y = 0.80224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38901960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    -0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38901960} λ = -1.38901960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89906821534814))-π/2
    2×atan(0.149708049916028)-π/2
    2×0.148604409633494-π/2
    0.297208819266988-1.57079632675     		φ = -1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38901960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2285 KachelY 6572 -1.38901960 -1.27358751 -79.584961 -72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 2286 KachelY 6572 -1.38825261 -1.27358751 -79.541015 -72.971189
    Unten links KachelX 2285 KachelY + 1 6573 -1.38901960 -1.27381204 -79.584961 -72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 2286 KachelY + 1 6573 -1.38825261 -1.27381204 -79.541015 -72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27358751--1.27381204) × R
    0.00022452999999989 × 6371000     		dl = 1430.4806299993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27358751--1.27381204) × R
    0.00022452999999989 × 6371000     		dr = 1430.4806299993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38901960--1.38825261) × cos(-1.27358751) × R
    0.000766989999999801 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 1431.02197071904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38901960--1.38825261) × cos(-1.27381204) × R
    0.000766989999999801 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 1429.97287261623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27358751)-sin(-1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.292637846355581)×R²
    abs(-1.38825261--1.38901960)×0.000214693449996417×R²
    0.000766989999999801×0.000214693449996417×6371000²
    0.000766989999999801×0.000214693449996417×40589641000000     		ar = 2046298.86155788m²