Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2285 / 2449
↖ ↑ ↗
← S 33.211116°
E 20.830078°		 ← 8 176.65 m → S 33.211116°
E 20.917969°		 →
↑
8 173.23 m
↓
↑
8 173.23 m
↓
S 33.284620°
E 20.830078°		 ← 8 169.77 m →
66 801 531 m²		 S 33.284620°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5579833984375 y=0.5980224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5579833984375 × 212)
    floor (0.5579833984375 × 4096)
    floor (2285.5)     		tx = 2285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5980224609375 × 212)
    floor (0.5980224609375 × 4096)
    floor (2449.5)     		ty = 2449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2285 / 2449 ti = "12/2285/2449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2285/2449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2285 ÷ 212
    2285 ÷ 4096     		x = 0.557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2449 ÷ 212
    2449 ÷ 4096     		y = 0.597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557861328125 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.19580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.615126295924561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36355345} λ = 0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615126295924561))-π/2
    2×atan(0.540572618879196)-π/2
    2×0.495576498051304-π/2
    0.991152996102608-1.57079632675     		φ = -0.57964333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57964333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.211116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2285 KachelY 2449 0.36355345 -0.57964333 20.830078 -33.211116
    Oben rechts KachelX + 1 2286 KachelY 2449 0.36508743 -0.57964333 20.917969 -33.211116
    Unten links KachelX 2285 KachelY + 1 2450 0.36355345 -0.58092621 20.830078 -33.284620
    Unten rechts KachelX + 1 2286 KachelY + 1 2450 0.36508743 -0.58092621 20.917969 -33.284620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57964333--0.58092621) × R
    0.00128287999999999 × 6371000     		dl = 8173.22847999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57964333--0.58092621) × R
    0.00128287999999999 × 6371000     		dr = 8173.22847999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36355345-0.36508743) × cos(-0.57964333) × R
    0.00153397999999999 × 0.836658060403913 × 6371000     		do = 8176.64799637622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36355345-0.36508743) × cos(-0.58092621) × R
    0.00153397999999999 × 0.835954705951289 × 6371000     		du = 8169.77412274975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57964333)-sin(-0.58092621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836658060403913-0.835954705951289)×R²
    abs(0.36508743-0.36355345)×0.000703354452623484×R²
    0.00153397999999999×0.000703354452623484×6371000²
    0.00153397999999999×0.000703354452623484×40589641000000     		ar = 66801530.5667955m²