Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22848 / 47424
S 62.431074°
W 54.492188°
← 282.71 m → S 62.431074°
W 54.486694°

282.68 m

282.68 m
S 62.433616°
W 54.492188°
← 282.69 m →
79 914 m²
S 62.433616°
W 54.486694°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348640441894531 y=0.723640441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348640441894531 × 216)
    floor (0.348640441894531 × 65536)
    floor (22848.5)
    tx = 22848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723640441894531 × 216)
    floor (0.723640441894531 × 65536)
    floor (47424.5)
    ty = 47424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22848 / 47424 ti = "16/22848/47424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22848/47424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22848 ÷ 216
    22848 ÷ 65536
    x = 0.3486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47424 ÷ 216
    47424 ÷ 65536
    y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    -0.302734375 × 3.1415926535
    Λ = -0.95106809
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535
    Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95106809} λ = -0.95106809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675
    φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95106809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22848 KachelY 47424 -0.95106809 -1.08962780 -54.492188 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 22849 KachelY 47424 -0.95097221 -1.08962780 -54.486694 -62.431074
    Unten links KachelX 22848 KachelY + 1 47425 -0.95106809 -1.08967217 -54.492188 -62.433616
    Unten rechts KachelX + 1 22849 KachelY + 1 47425 -0.95097221 -1.08967217 -54.486694 -62.433616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.08962780--1.08967217) × R
    4.43700000001268e-05 × 6371000
    dl = 282.681270000808m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.08962780--1.08967217) × R
    4.43700000001268e-05 × 6371000
    dr = 282.681270000808m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95106809--0.95097221) × cos(-1.08962780) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.462815337370534 × 6371000
    do = 282.711433799632m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95106809--0.95097221) × cos(-1.08967217) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.462776004919227 × 6371000
    du = 282.687407513539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.08967217))×
    abs(λ12)×abs(0.462815337370534-0.462776004919227)×
    abs(-0.95097221--0.95106809)×3.93324513070503e-05×
    9.58800000000481e-05×3.93324513070503e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.93324513070503e-05×40589641000000
    ar = 79913.8312727576m²