Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2284 / 6414
↖ ↑ ↗
← S 70.815812°
W 79.628906°		 ← 1 605.73 m → S 70.815812°
W 79.584961°		 →
↑
1 605.17 m
↓
↑
1 605.17 m
↓
S 70.830248°
W 79.628906°		 ← 1 604.57 m →
2 576 544 m²		 S 70.830248°
W 79.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27886962890625 y=0.78302001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27886962890625 × 213)
    floor (0.27886962890625 × 8192)
    floor (2284.5)     		tx = 2284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78302001953125 × 213)
    floor (0.78302001953125 × 8192)
    floor (6414.5)     		ty = 6414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2284 / 6414 ti = "13/2284/6414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2284/6414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2284 ÷ 213
    2284 ÷ 8192     		x = 0.27880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6414 ÷ 213
    6414 ÷ 8192     		y = 0.782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38978659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.56591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77788373310864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38978659} λ = -1.38978659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77788373310864))-π/2
    2×atan(0.168995408492995)-π/2
    2×0.16741362107887-π/2
    0.33482724215774-1.57079632675     		φ = -1.23596908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38978659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23596908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.815812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2284 KachelY 6414 -1.38978659 -1.23596908 -79.628906 -70.815812
    Oben rechts KachelX + 1 2285 KachelY 6414 -1.38901960 -1.23596908 -79.584961 -70.815812
    Unten links KachelX 2284 KachelY + 1 6415 -1.38978659 -1.23622103 -79.628906 -70.830248
    Unten rechts KachelX + 1 2285 KachelY + 1 6415 -1.38901960 -1.23622103 -79.584961 -70.830248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23596908--1.23622103) × R
    0.000251950000000001 × 6371000     		dl = 1605.17345000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23596908--1.23622103) × R
    0.000251950000000001 × 6371000     		dr = 1605.17345000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38978659--1.38901960) × cos(-1.23596908) × R
    0.000766990000000023 × 0.328606015060954 × 6371000     		do = 1605.73108764904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38978659--1.38901960) × cos(-1.23622103) × R
    0.000766990000000023 × 0.328368046150018 × 6371000     		du = 1604.56825416252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23596908)-sin(-1.23622103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328606015060954-0.328368046150018)×R²
    abs(-1.38901960--1.38978659)×0.00023796891093586×R²
    0.000766990000000023×0.00023796891093586×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023796891093586×40589641000000     		ar = 2576543.64864556m²