Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2284 / 2450
↖ ↑ ↗
← S 33.284620°
E 20.742188°		 ← 8 169.77 m → S 33.284620°
E 20.830078°		 →
↑
8 166.35 m
↓
↑
8 166.35 m
↓
S 33.358062°
E 20.742188°		 ← 8 162.89 m →
66 689 128 m²		 S 33.358062°
E 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5577392578125 y=0.5982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5577392578125 × 212)
    floor (0.5577392578125 × 4096)
    floor (2284.5)     		tx = 2284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5982666015625 × 212)
    floor (0.5982666015625 × 4096)
    floor (2450.5)     		ty = 2450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2284 / 2450 ti = "12/2284/2450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2284/2450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2284 ÷ 212
    2284 ÷ 4096     		x = 0.5576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2450 ÷ 212
    2450 ÷ 4096     		y = 0.59814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    -0.1962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.616660276712402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36201947} λ = 0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616660276712402))-π/2
    2×atan(0.539744026552238)-π/2
    2×0.494935059038744-π/2
    0.989870118077488-1.57079632675     		φ = -0.58092621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58092621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.284620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2284 KachelY 2450 0.36201947 -0.58092621 20.742188 -33.284620
    Oben rechts KachelX + 1 2285 KachelY 2450 0.36355345 -0.58092621 20.830078 -33.284620
    Unten links KachelX 2284 KachelY + 1 2451 0.36201947 -0.58220801 20.742188 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 2285 KachelY + 1 2451 0.36355345 -0.58220801 20.830078 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58092621--0.58220801) × R
    0.0012818 × 6371000     		dl = 8166.3478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58092621--0.58220801) × R
    0.0012818 × 6371000     		dr = 8166.3478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36201947-0.36355345) × cos(-0.58092621) × R
    0.00153397999999999 × 0.835954705951289 × 6371000     		do = 8169.77412274975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36201947-0.36355345) × cos(-0.58220801) × R
    0.00153397999999999 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 8162.89260724689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58092621)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835954705951289-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36355345-0.36201947)×0.000704136391319832×R²
    0.00153397999999999×0.000704136391319832×6371000²
    0.00153397999999999×0.000704136391319832×40589641000000     		ar = 66689127.6402409m²