Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22837 / 47412
S 62.400551°
W 54.552612°
← 282.97 m → S 62.400551°
W 54.547119°

282.94 m

282.94 m
S 62.403096°
W 54.552612°
← 282.95 m →
80 059 m²
S 62.403096°
W 54.547119°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348472595214844 y=0.723457336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348472595214844 × 216)
    floor (0.348472595214844 × 65536)
    floor (22837.5)
    tx = 22837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723457336425781 × 216)
    floor (0.723457336425781 × 65536)
    floor (47412.5)
    ty = 47412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22837 / 47412 ti = "16/22837/47412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22837/47412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22837 ÷ 216
    22837 ÷ 65536
    x = 0.348464965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47412 ÷ 216
    47412 ÷ 65536
    y = 0.72344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.348464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.303070068359375 × 3.1415926535
    Λ = -0.95212270
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.72344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535
    Φ = -1.4039759160722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95212270} λ = -0.95212270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4039759160722))-π/2
    2×atan(0.245618461619874)-π/2
    2×0.240850629925947-π/2
    0.481701259851894-1.57079632675
    φ = -1.08909507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95212270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.552612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08909507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.400551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22837 KachelY 47412 -0.95212270 -1.08909507 -54.552612 -62.400551
    Oben rechts KachelX + 1 22838 KachelY 47412 -0.95202683 -1.08909507 -54.547119 -62.400551
    Unten links KachelX 22837 KachelY + 1 47413 -0.95212270 -1.08913948 -54.552612 -62.403096
    Unten rechts KachelX + 1 22838 KachelY + 1 47413 -0.95202683 -1.08913948 -54.547119 -62.403096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.08909507--1.08913948) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000
    dl = 282.936110000674m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.08909507--1.08913948) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000
    dr = 282.936110000674m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95212270--0.95202683) × cos(-1.08909507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46328751269526 × 6371000
    do = 282.970346747978m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95212270--0.95202683) × cos(-1.08913948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463248155739597 × 6371000
    du = 282.946308000795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.08909507)-sin(-1.08913948))×
    abs(λ12)×abs(0.46328751269526-0.463248155739597)×
    abs(-0.95202683--0.95212270)×3.9356955662484e-05×
    9.58699999999979e-05×3.9356955662484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9356955662484e-05×40589641000000
    ar = 80059.128452749m²