Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22836 / 47416
↖ ↑ ↗
← S 62.410729°
W 54.558105°		 ← 282.87 m → S 62.410729°
W 54.552612°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
S 62.413273°
W 54.558105°		 ← 282.85 m →
80 014 m²		 S 62.413273°
W 54.552612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348457336425781 y=0.723518371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348457336425781 × 216)
    floor (0.348457336425781 × 65536)
    floor (22836.5)     		tx = 22836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723518371582031 × 216)
    floor (0.723518371582031 × 65536)
    floor (47416.5)     		ty = 47416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22836 / 47416 ti = "16/22836/47416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22836/47416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22836 ÷ 216
    22836 ÷ 65536     		x = 0.34844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47416 ÷ 216
    47416 ÷ 65536     		y = 0.7235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.3031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95221857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40435941126917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95221857} λ = -0.95221857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40435941126917))-π/2
    2×atan(0.245524286178627)-π/2
    2×0.240761810751672-π/2
    0.481523621503344-1.57079632675     		φ = -1.08927271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95221857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08927271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.410729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22836 KachelY 47416 -0.95221857 -1.08927271 -54.558105 -62.410729
    Oben rechts KachelX + 1 22837 KachelY 47416 -0.95212270 -1.08927271 -54.552612 -62.410729
    Unten links KachelX 22836 KachelY + 1 47417 -0.95221857 -1.08931711 -54.558105 -62.413273
    Unten rechts KachelX + 1 22837 KachelY + 1 47417 -0.95212270 -1.08931711 -54.552612 -62.413273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08927271--1.08931711) × R
    4.44000000001665e-05 × 6371000     		dl = 282.872400001061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08927271--1.08931711) × R
    4.44000000001665e-05 × 6371000     		dr = 282.872400001061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95221857--0.95212270) × cos(-1.08927271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463130079391079 × 6371000     		do = 282.874188411194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95221857--0.95212270) × cos(-1.08931711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46309072764443 × 6371000     		du = 282.850152845613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08927271)-sin(-1.08931711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463130079391079-0.46309072764443)×R²
    abs(-0.95212270--0.95221857)×3.93517466491522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93517466491522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93517466491522e-05×40589641000000     		ar = 80013.9010885181m²