Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2282 / 2426
↖ ↑ ↗
← S 31.503629°
E 20.566406°		 ← 8 332.57 m → S 31.503629°
E 20.654297°		 →
↑
8 329.19 m
↓
↑
8 329.19 m
↓
S 31.578536°
E 20.566406°		 ← 8 325.89 m →
69 375 753 m²		 S 31.578536°
E 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5572509765625 y=0.5924072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5572509765625 × 212)
    floor (0.5572509765625 × 4096)
    floor (2282.5)     		tx = 2282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5924072265625 × 212)
    floor (0.5924072265625 × 4096)
    floor (2426.5)     		ty = 2426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2282 / 2426 ti = "12/2282/2426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2282/2426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2282 ÷ 212
    2282 ÷ 4096     		x = 0.55712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2426 ÷ 212
    2426 ÷ 4096     		y = 0.59228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.579844737804199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35895150} λ = 0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579844737804199))-π/2
    2×atan(0.559985304364122)-π/2
    2×0.510477134547756-π/2
    1.02095426909551-1.57079632675     		φ = -0.54984206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54984206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.503629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2282 KachelY 2426 0.35895150 -0.54984206 20.566406 -31.503629
    Oben rechts KachelX + 1 2283 KachelY 2426 0.36048549 -0.54984206 20.654297 -31.503629
    Unten links KachelX 2282 KachelY + 1 2427 0.35895150 -0.55114942 20.566406 -31.578536
    Unten rechts KachelX + 1 2283 KachelY + 1 2427 0.36048549 -0.55114942 20.654297 -31.578536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54984206--0.55114942) × R
    0.00130735999999998 × 6371000     		dl = 8329.19055999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54984206--0.55114942) × R
    0.00130735999999998 × 6371000     		dr = 8329.19055999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35895150-0.36048549) × cos(-0.54984206) × R
    0.00153399000000004 × 0.852607064646969 × 6371000     		do = 8332.57172040433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35895150-0.36048549) × cos(-0.55114942) × R
    0.00153399000000004 × 0.85192317187383 × 6371000     		du = 8325.88800193948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54984206)-sin(-0.55114942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852607064646969-0.85192317187383)×R²
    abs(0.36048549-0.35895150)×0.000683892773138628×R²
    0.00153399000000004×0.000683892773138628×6371000²
    0.00153399000000004×0.000683892773138628×40589641000000     		ar = 69375752.6131024m²