Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2282 / 2411
↖ ↑ ↗
← S 30.372875°
E 20.566406°		 ← 8 431.73 m → S 30.372875°
E 20.654297°		 →
↑
8 428.39 m
↓
↑
8 428.39 m
↓
S 30.448674°
E 20.566406°		 ← 8 425.19 m →
71 038 312 m²		 S 30.448674°
E 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5572509765625 y=0.5887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5572509765625 × 212)
    floor (0.5572509765625 × 4096)
    floor (2282.5)     		tx = 2282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5887451171875 × 212)
    floor (0.5887451171875 × 4096)
    floor (2411.5)     		ty = 2411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2282 / 2411 ti = "12/2282/2411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2282/2411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2282 ÷ 212
    2282 ÷ 4096     		x = 0.55712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2411 ÷ 212
    2411 ÷ 4096     		y = 0.588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556835025986572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35895150} λ = 0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556835025986572))-π/2
    2×atan(0.573019789630641)-π/2
    2×0.520344825739338-π/2
    1.04068965147868-1.57079632675     		φ = -0.53010668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53010668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.372875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2282 KachelY 2411 0.35895150 -0.53010668 20.566406 -30.372875
    Oben rechts KachelX + 1 2283 KachelY 2411 0.36048549 -0.53010668 20.654297 -30.372875
    Unten links KachelX 2282 KachelY + 1 2412 0.35895150 -0.53142961 20.566406 -30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 2283 KachelY + 1 2412 0.36048549 -0.53142961 20.654297 -30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53010668--0.53142961) × R
    0.00132292999999994 × 6371000     		dl = 8428.38702999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53010668--0.53142961) × R
    0.00132292999999994 × 6371000     		dr = 8428.38702999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35895150-0.36048549) × cos(-0.53010668) × R
    0.00153399000000004 × 0.862753135308383 × 6371000     		do = 8431.72977922422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35895150-0.36048549) × cos(-0.53142961) × R
    0.00153399000000004 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 8425.18514113538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53010668)-sin(-0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862753135308383-0.862083473545203)×R²
    abs(0.36048549-0.35895150)×0.00066966176317973×R²
    0.00153399000000004×0.00066966176317973×6371000²
    0.00153399000000004×0.00066966176317973×40589641000000     		ar = 71038311.9008836m²