Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2281 / 4311
↖ ↑ ↗
← S  9.405710°
W 79.760742°		 ← 4 820.80 m → S  9.405710°
W 79.716797°		 →
↑
4 820.49 m
↓
↑
4 820.49 m
↓
S  9.449062°
W 79.760742°		 ← 4 820.19 m →
23 237 152 m²		 S  9.449062°
W 79.716797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27850341796875 y=0.52630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27850341796875 × 213)
    floor (0.27850341796875 × 8192)
    floor (2281.5)     		tx = 2281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52630615234375 × 213)
    floor (0.52630615234375 × 8192)
    floor (4311.5)     		ty = 4311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2281 / 4311 ti = "13/2281/4311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2281/4311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2281 ÷ 213
    2281 ÷ 8192     		x = 0.2784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4311 ÷ 213
    4311 ÷ 8192     		y = 0.5262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39208756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.164902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39208756} λ = -1.39208756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164902934692993))-π/2
    2×atan(0.84797600914503)-π/2
    2×0.703317859042867-π/2
    1.40663571808573-1.57079632675     		φ = -0.16416061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39208756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16416061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.405710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2281 KachelY 4311 -1.39208756 -0.16416061 -79.760742 -9.405710
    Oben rechts KachelX + 1 2282 KachelY 4311 -1.39132057 -0.16416061 -79.716797 -9.405710
    Unten links KachelX 2281 KachelY + 1 4312 -1.39208756 -0.16491724 -79.760742 -9.449062
    Unten rechts KachelX + 1 2282 KachelY + 1 4312 -1.39132057 -0.16491724 -79.716797 -9.449062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16416061--0.16491724) × R
    0.00075662999999998 × 6371000     		dl = 4820.48972999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16416061--0.16491724) × R
    0.00075662999999998 × 6371000     		dr = 4820.48972999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39208756--1.39132057) × cos(-0.16416061) × R
    0.000766990000000023 × 0.98655587959115 × 6371000     		do = 4820.79868583234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39208756--1.39132057) × cos(-0.16491724) × R
    0.000766990000000023 × 0.986431945491148 × 6371000     		du = 4820.19308268428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16416061)-sin(-0.16491724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98655587959115-0.986431945491148)×R²
    abs(-1.39132057--1.39208756)×0.000123934100001555×R²
    0.000766990000000023×0.000123934100001555×6371000²
    0.000766990000000023×0.000123934100001555×40589641000000     		ar = 23237152.0121584m²