Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2281 / 2989
↖ ↑ ↗
← S 63.430860°
E 20.478515°		 ← 4 371.24 m → S 63.430860°
E 20.566406°		 →
↑
4 368.21 m
↓
↑
4 368.21 m
↓
S 63.470145°
E 20.478515°		 ← 4 365.24 m →
19 081 397 m²		 S 63.470145°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5570068359375 y=0.7298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5570068359375 × 212)
    floor (0.5570068359375 × 4096)
    floor (2281.5)     		tx = 2281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7298583984375 × 212)
    floor (0.7298583984375 × 4096)
    floor (2989.5)     		ty = 2989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2281 / 2989 ti = "12/2281/2989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2281/2989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2281 ÷ 212
    2281 ÷ 4096     		x = 0.556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2989 ÷ 212
    2989 ÷ 4096     		y = 0.729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556884765625 × 2 - 1) × π
    0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44347592135913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35741752} λ = 0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44347592135913))-π/2
    2×atan(0.236105646052305)-π/2
    2×0.231859484364923-π/2
    0.463718968729847-1.57079632675     		φ = -1.10707736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10707736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.430860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2281 KachelY 2989 0.35741752 -1.10707736 20.478515 -63.430860
    Oben rechts KachelX + 1 2282 KachelY 2989 0.35895150 -1.10707736 20.566406 -63.430860
    Unten links KachelX 2281 KachelY + 1 2990 0.35741752 -1.10776300 20.478515 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 2282 KachelY + 1 2990 0.35895150 -1.10776300 20.566406 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10707736--1.10776300) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dl = 4368.21244000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10707736--1.10776300) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dr = 4368.21244000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35741752-0.35895150) × cos(-1.10707736) × R
    0.00153397999999999 × 0.447277418712637 × 6371000     		do = 4371.23621061561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35741752-0.35895150) × cos(-1.10776300) × R
    0.00153397999999999 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 4365.24206400806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10707736)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447277418712637-0.446664080450225)×R²
    abs(0.35895150-0.35741752)×0.000613338262412111×R²
    0.00153397999999999×0.000613338262412111×6371000²
    0.00153397999999999×0.000613338262412111×40589641000000     		ar = 19081397.2880256m²