Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22802 / 47349
↖ ↑ ↗
← S 62.239792°
W 54.744873°		 ← 284.49 m → S 62.239792°
W 54.739380°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
S 62.242350°
W 54.744873°		 ← 284.46 m →
80 923 m²		 S 62.242350°
W 54.739380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347938537597656 y=0.722496032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347938537597656 × 216)
    floor (0.347938537597656 × 65536)
    floor (22802.5)     		tx = 22802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722496032714844 × 216)
    floor (0.722496032714844 × 65536)
    floor (47349.5)     		ty = 47349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22802 / 47349 ti = "16/22802/47349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22802/47349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22802 ÷ 216
    22802 ÷ 65536     		x = 0.347930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47349 ÷ 216
    47349 ÷ 65536     		y = 0.722488403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.30413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95547828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.444976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39793586672008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95547828} λ = -0.95547828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39793586672008))-π/2
    2×atan(0.247106498634452)-π/2
    2×0.2422535191224-π/2
    0.4845070382448-1.57079632675     		φ = -1.08628929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95547828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08628929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.239792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22802 KachelY 47349 -0.95547828 -1.08628929 -54.744873 -62.239792
    Oben rechts KachelX + 1 22803 KachelY 47349 -0.95538241 -1.08628929 -54.739380 -62.239792
    Unten links KachelX 22802 KachelY + 1 47350 -0.95547828 -1.08633394 -54.744873 -62.242350
    Unten rechts KachelX + 1 22803 KachelY + 1 47350 -0.95538241 -1.08633394 -54.739380 -62.242350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08628929--1.08633394) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08628929--1.08633394) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95547828--0.95538241) × cos(-1.08628929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465772190620669 × 6371000     		do = 284.487957637207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95547828--0.95538241) × cos(-1.08633394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465732679163095 × 6371000     		du = 284.463824522146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08628929)-sin(-1.08633394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465772190620669-0.465732679163095)×R²
    abs(-0.95538241--0.95547828)×3.95114575737487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95114575737487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95114575737487e-05×40589641000000     		ar = 80923.4770408516m²