Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22801 / 47341
↖ ↑ ↗
← S 62.219316°
W 54.750366°		 ← 284.71 m → S 62.219316°
W 54.744873°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
S 62.221876°
W 54.750366°		 ← 284.69 m →
81 059 m²		 S 62.221876°
W 54.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347923278808594 y=0.722373962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347923278808594 × 216)
    floor (0.347923278808594 × 65536)
    floor (22801.5)     		tx = 22801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722373962402344 × 216)
    floor (0.722373962402344 × 65536)
    floor (47341.5)     		ty = 47341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22801 / 47341 ti = "16/22801/47341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22801/47341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22801 ÷ 216
    22801 ÷ 65536     		x = 0.347915649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47341 ÷ 216
    47341 ÷ 65536     		y = 0.722366333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347915649414062 × 2 - 1) × π
    -0.304168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95557416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722366333007812 × 2 - 1) × π
    -0.444732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39716887632616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95557416} λ = -0.95557416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39716887632616))-π/2
    2×atan(0.247296099646963)-π/2
    2×0.242432201147153-π/2
    0.484864402294305-1.57079632675     		φ = -1.08593192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95557416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.750366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08593192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.219316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22801 KachelY 47341 -0.95557416 -1.08593192 -54.750366 -62.219316
    Oben rechts KachelX + 1 22802 KachelY 47341 -0.95547828 -1.08593192 -54.744873 -62.219316
    Unten links KachelX 22801 KachelY + 1 47342 -0.95557416 -1.08597661 -54.750366 -62.221876
    Unten rechts KachelX + 1 22802 KachelY + 1 47342 -0.95547828 -1.08597661 -54.744873 -62.221876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08593192--1.08597661) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08593192--1.08597661) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95557416--0.95547828) × cos(-1.08593192) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.466088399251475 × 6371000     		do = 284.710788493408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95557416--0.95547828) × cos(-1.08597661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.466048859837877 × 6371000     		du = 284.686635784093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08593192)-sin(-1.08597661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466088399251475-0.466048859837877)×R²
    abs(-0.95547828--0.95557416)×3.95394135982996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.95394135982996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.95394135982996e-05×40589641000000     		ar = 81059.4144864447m²