Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2280 / 6424
↖ ↑ ↗
← S 70.959697°
W 79.804688°		 ← 1 594.16 m → S 70.959697°
W 79.760742°		 →
↑
1 593.58 m
↓
↑
1 593.58 m
↓
S 70.974028°
W 79.804688°		 ← 1 593 m →
2 539 493 m²		 S 70.974028°
W 79.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27838134765625 y=0.78424072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27838134765625 × 213)
    floor (0.27838134765625 × 8192)
    floor (2280.5)     		tx = 2280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78424072265625 × 213)
    floor (0.78424072265625 × 8192)
    floor (6424.5)     		ty = 6424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2280 / 6424 ti = "13/2280/6424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2280/6424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2280 ÷ 213
    2280 ÷ 8192     		x = 0.2783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6424 ÷ 213
    6424 ÷ 8192     		y = 0.7841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39285456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    -0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39285456} λ = -1.39285456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78555363704785))-π/2
    2×atan(0.167704188042023)-π/2
    2×0.166157987515839-π/2
    0.332315975031677-1.57079632675     		φ = -1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39285456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2280 KachelY 6424 -1.39285456 -1.23848035 -79.804688 -70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 2281 KachelY 6424 -1.39208756 -1.23848035 -79.760742 -70.959697
    Unten links KachelX 2280 KachelY + 1 6425 -1.39285456 -1.23873048 -79.804688 -70.974028
    Unten rechts KachelX + 1 2281 KachelY + 1 6425 -1.39208756 -1.23873048 -79.760742 -70.974028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23848035--1.23873048) × R
    0.000250130000000182 × 6371000     		dl = 1593.57823000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23848035--1.23873048) × R
    0.000250130000000182 × 6371000     		dr = 1593.57823000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39285456--1.39208756) × cos(-1.23848035) × R
    0.000766999999999962 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 1594.15697809401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39285456--1.39208756) × cos(-1.23873048) × R
    0.000766999999999962 × 0.325996714085265 × 6371000     		du = 1593.00152519027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23848035)-sin(-1.23873048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.325996714085265)×R²
    abs(-1.39208756--1.39285456)×0.000236455423264392×R²
    0.000766999999999962×0.000236455423264392×6371000²
    0.000766999999999962×0.000236455423264392×40589641000000     		ar = 2539493.21644102m²