Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2280 / 2378
↖ ↑ ↗
← S 27.839076°
E 20.390625°		 ← 8 641.89 m → S 27.839076°
E 20.478515°		 →
↑
8 638.76 m
↓
↑
8 638.76 m
↓
S 27.916766°
E 20.390625°		 ← 8 635.69 m →
74 628 416 m²		 S 27.916766°
E 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5567626953125 y=0.5806884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5567626953125 × 212)
    floor (0.5567626953125 × 4096)
    floor (2280.5)     		tx = 2280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5806884765625 × 212)
    floor (0.5806884765625 × 4096)
    floor (2378.5)     		ty = 2378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2280 / 2378 ti = "12/2280/2378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2280/2378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2280 ÷ 212
    2280 ÷ 4096     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2378 ÷ 212
    2378 ÷ 4096     		y = 0.58056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506213659987793))-π/2
    2×atan(0.602773569150951)-π/2
    2×0.542456394120286-π/2
    1.08491278824057-1.57079632675     		φ = -0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2280 KachelY 2378 0.35588354 -0.48588354 20.390625 -27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 2281 KachelY 2378 0.35741752 -0.48588354 20.478515 -27.839076
    Unten links KachelX 2280 KachelY + 1 2379 0.35588354 -0.48723949 20.390625 -27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 2281 KachelY + 1 2379 0.35741752 -0.48723949 20.478515 -27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48588354--0.48723949) × R
    0.00135594999999999 × 6371000     		dl = 8638.75744999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48588354--0.48723949) × R
    0.00135594999999999 × 6371000     		dr = 8638.75744999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35741752) × cos(-0.48588354) × R
    0.00153397999999999 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 8641.8874037434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35741752) × cos(-0.48723949) × R
    0.00153397999999999 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 8635.69106091489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48588354)-sin(-0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.883628662561301)×R²
    abs(0.35741752-0.35588354)×0.000634027559312189×R²
    0.00153397999999999×0.000634027559312189×6371000²
    0.00153397999999999×0.000634027559312189×40589641000000     		ar = 74628416.2740832m²