Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22797 / 11549
↖ ↑ ↗
← N 81.402033°
W117.386169°		 ← 45.65 m → N 81.402033°
W117.383423°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
N 81.401623°
W117.386169°		 ← 45.65 m →
2 083 m²		 N 81.401623°
W117.383423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173931121826172 y=0.0881156921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173931121826172 × 217)
    floor (0.173931121826172 × 131072)
    floor (22797.5)     		tx = 22797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0881156921386719 × 217)
    floor (0.0881156921386719 × 131072)
    floor (11549.5)     		ty = 11549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22797 / 11549 ti = "17/22797/11549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22797/11549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22797 ÷ 217
    22797 ÷ 131072     		x = 0.173927307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11549 ÷ 217
    11549 ÷ 131072     		y = 0.0881118774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173927307128906 × 2 - 1) × π
    -0.652145385742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.04877515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0881118774414062 × 2 - 1) × π
    0.823776245117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.58796939978797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04877515} λ = -2.04877515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58796939978797))-π/2
    2×atan(13.3027316291318)-π/2
    2×1.49576491578355-π/2
    2.9915298315671-1.57079632675     		φ = 1.42073350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04877515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.386169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42073350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.402033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22797 KachelY 11549 -2.04877515 1.42073350 -117.386169 81.402033
    Oben rechts KachelX + 1 22798 KachelY 11549 -2.04872722 1.42073350 -117.383423 81.402033
    Unten links KachelX 22797 KachelY + 1 11550 -2.04877515 1.42072634 -117.386169 81.401623
    Unten rechts KachelX + 1 22798 KachelY + 1 11550 -2.04872722 1.42072634 -117.383423 81.401623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42073350-1.42072634) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42073350-1.42072634) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04877515--2.04872722) × cos(1.42073350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14950025349634 × 6371000     		do = 45.6517008931849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04877515--2.04872722) × cos(1.42072634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149507333026189 × 6371000     		du = 45.6538627127909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42073350)-sin(1.42072634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14950025349634-0.149507333026189)×R²
    abs(-2.04872722--2.04877515)×7.07952984865812e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07952984865812e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07952984865812e-06×40589641000000     		ar = 2082.51372982467m²