Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22795 / 47339
↖ ↑ ↗
← S 62.214195°
W 54.783325°		 ← 284.73 m → S 62.214195°
W 54.777832°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
S 62.216756°
W 54.783325°		 ← 284.71 m →
81 065 m²		 S 62.216756°
W 54.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347831726074219 y=0.722343444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347831726074219 × 216)
    floor (0.347831726074219 × 65536)
    floor (22795.5)     		tx = 22795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722343444824219 × 216)
    floor (0.722343444824219 × 65536)
    floor (47339.5)     		ty = 47339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22795 / 47339 ti = "16/22795/47339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22795/47339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22795 ÷ 216
    22795 ÷ 65536     		x = 0.347824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47339 ÷ 216
    47339 ÷ 65536     		y = 0.722335815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.304351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95614940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722335815429688 × 2 - 1) × π
    -0.444671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39697712872768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95614940} λ = -0.95614940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39697712872768))-π/2
    2×atan(0.24734352262666)-π/2
    2×0.242476890602925-π/2
    0.484953781205851-1.57079632675     		φ = -1.08584255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95614940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08584255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.214195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22795 KachelY 47339 -0.95614940 -1.08584255 -54.783325 -62.214195
    Oben rechts KachelX + 1 22796 KachelY 47339 -0.95605353 -1.08584255 -54.777832 -62.214195
    Unten links KachelX 22795 KachelY + 1 47340 -0.95614940 -1.08588724 -54.783325 -62.216756
    Unten rechts KachelX + 1 22796 KachelY + 1 47340 -0.95605353 -1.08588724 -54.777832 -62.216756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08584255--1.08588724) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08584255--1.08588724) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95614940--0.95605353) × cos(-1.08584255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466167466439018 × 6371000     		do = 284.729387272831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95614940--0.95605353) × cos(-1.08588724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46612792888703 × 6371000     		du = 284.705238219622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08584255)-sin(-1.08588724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466167466439018-0.46612792888703)×R²
    abs(-0.95605353--0.95614940)×3.95375519877672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95375519877672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95375519877672e-05×40589641000000     		ar = 81064.710451288m²