Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22793 / 47577
↖ ↑ ↗
← S 62.817528°
W 54.794312°		 ← 279.05 m → S 62.817528°
W 54.788818°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
S 62.820037°
W 54.794312°		 ← 279.03 m →
77 849 m²		 S 62.820037°
W 54.788818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347801208496094 y=0.725975036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347801208496094 × 216)
    floor (0.347801208496094 × 65536)
    floor (22793.5)     		tx = 22793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725975036621094 × 216)
    floor (0.725975036621094 × 65536)
    floor (47577.5)     		ty = 47577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22793 / 47577 ti = "16/22793/47577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22793/47577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22793 ÷ 216
    22793 ÷ 65536     		x = 0.347793579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47577 ÷ 216
    47577 ÷ 65536     		y = 0.725967407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347793579101562 × 2 - 1) × π
    -0.304412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95634115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725967407226562 × 2 - 1) × π
    -0.451934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41979509294682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95634115} λ = -0.95634115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41979509294682))-π/2
    2×atan(0.241763550878708)-π/2
    2×0.237211814830395-π/2
    0.474423629660789-1.57079632675     		φ = -1.09637270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95634115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.794312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09637270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.817528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22793 KachelY 47577 -0.95634115 -1.09637270 -54.794312 -62.817528
    Oben rechts KachelX + 1 22794 KachelY 47577 -0.95624527 -1.09637270 -54.788818 -62.817528
    Unten links KachelX 22793 KachelY + 1 47578 -0.95634115 -1.09641649 -54.794312 -62.820037
    Unten rechts KachelX + 1 22794 KachelY + 1 47578 -0.95624527 -1.09641649 -54.788818 -62.820037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09637270--1.09641649) × R
    4.3789999999877e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09637270--1.09641649) × R
    4.3789999999877e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95634115--0.95624527) × cos(-1.09637270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456825806745795 × 6371000     		do = 279.05272015268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95634115--0.95624527) × cos(-1.09641649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456786852643061 × 6371000     		du = 279.028924981373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09637270)-sin(-1.09641649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456825806745795-0.456786852643061)×R²
    abs(-0.95624527--0.95634115)×3.89541027346896e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89541027346896e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89541027346896e-05×40589641000000     		ar = 77848.5080504034m²