Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22792 / 47576
↖ ↑ ↗
← S 62.815019°
W 54.799805°		 ← 279.05 m → S 62.815019°
W 54.794312°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
S 62.817528°
W 54.799805°		 ← 279.02 m →
77 865 m²		 S 62.817528°
W 54.794312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347785949707031 y=0.725959777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347785949707031 × 216)
    floor (0.347785949707031 × 65536)
    floor (22792.5)     		tx = 22792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725959777832031 × 216)
    floor (0.725959777832031 × 65536)
    floor (47576.5)     		ty = 47576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22792 / 47576 ti = "16/22792/47576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22792/47576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22792 ÷ 216
    22792 ÷ 65536     		x = 0.3477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47576 ÷ 216
    47576 ÷ 65536     		y = 0.7259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95643702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95643702} λ = -0.95643702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41969921914758))-π/2
    2×atan(0.241786730780004)-π/2
    2×0.2372337145772-π/2
    0.474467429154399-1.57079632675     		φ = -1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95643702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22792 KachelY 47576 -0.95643702 -1.09632890 -54.799805 -62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 22793 KachelY 47576 -0.95634115 -1.09632890 -54.794312 -62.815019
    Unten links KachelX 22792 KachelY + 1 47577 -0.95643702 -1.09637270 -54.799805 -62.817528
    Unten rechts KachelX + 1 22793 KachelY + 1 47577 -0.95634115 -1.09637270 -54.794312 -62.817528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09632890--1.09637270) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dl = 279.049800000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09632890--1.09637270) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dr = 279.049800000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95643702--0.95634115) × cos(-1.09632890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 279.047413368384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95643702--0.95634115) × cos(-1.09637270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456825806745795 × 6371000     		du = 279.023615780709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09632890)-sin(-1.09637270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.456825806745795)×R²
    abs(-0.95634115--0.95643702)×3.89621221037473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89621221037473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89621221037473e-05×40589641000000     		ar = 77864.8045474872m²