Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22792 / 47374
↖ ↑ ↗
← S 62.303688°
W 54.799805°		 ← 283.89 m → S 62.303688°
W 54.794312°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
S 62.306241°
W 54.799805°		 ← 283.86 m →
80 589 m²		 S 62.306241°
W 54.794312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347785949707031 y=0.722877502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347785949707031 × 216)
    floor (0.347785949707031 × 65536)
    floor (22792.5)     		tx = 22792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722877502441406 × 216)
    floor (0.722877502441406 × 65536)
    floor (47374.5)     		ty = 47374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22792 / 47374 ti = "16/22792/47374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22792/47374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22792 ÷ 216
    22792 ÷ 65536     		x = 0.3477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47374 ÷ 216
    47374 ÷ 65536     		y = 0.722869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95643702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40033271170108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95643702} λ = -0.95643702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40033271170108))-π/2
    2×atan(0.24651493189352)-π/2
    2×0.241695918906227-π/2
    0.483391837812454-1.57079632675     		φ = -1.08740449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95643702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08740449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.303688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22792 KachelY 47374 -0.95643702 -1.08740449 -54.799805 -62.303688
    Oben rechts KachelX + 1 22793 KachelY 47374 -0.95634115 -1.08740449 -54.794312 -62.303688
    Unten links KachelX 22792 KachelY + 1 47375 -0.95643702 -1.08744905 -54.799805 -62.306241
    Unten rechts KachelX + 1 22793 KachelY + 1 47375 -0.95634115 -1.08744905 -54.794312 -62.306241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08740449--1.08744905) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dl = 283.891760000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08740449--1.08744905) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dr = 283.891760000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95643702--0.95634115) × cos(-1.08740449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464785055508958 × 6371000     		do = 283.885027583636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95643702--0.95634115) × cos(-1.08744905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464745600574416 × 6371000     		du = 283.860928992152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08740449)-sin(-1.08744905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464785055508958-0.464745600574416)×R²
    abs(-0.95634115--0.95643702)×3.94549345423822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94549345423822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94549345423822e-05×40589641000000     		ar = 80589.1994362903m²